Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Ninh Bình năm 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN Ngày thi: 09/03/2021 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Họ và tên thí sinh……................................... Số báo danh:......................................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất:.......................................................................................... Giám thị thứ hai:.......................................................................................... Câu 1 (5,0 điểm) 1. Cho phương trình: x2 −2(m+1)x + 4m − m2 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 − x2 2. Giải hệ phương trình x + 2021 − y = 4042 + = 2021 − x y 4042 Câu 2 (5,0 điểm) 1. Cho đa thức f ( x ) = x 2 +ax + b ( a , b ) thỏa mãn f(1)=1 và f(0)>0 a) Chứng minh phương trình f (x)= x có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm số nghiệm của phương trình f(f(x))=x . 2. Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn xy =1. Chứng minh 1 1 2 x+ y+ x + y 3 Câu 3 (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R . Dây cung BC cố định, không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I,H lần lượt là trung điểm của BC và MN, BC cắt MN tại K . 1. Chứng minh bốn điểm O,M,N,I cùng thuộc một đường tròn và HK là tia phân giác của BHC 2. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở E. Chứng minh M,N,E thẳng hàng. 3. Đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ON, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tứ giác AMPN là hình bình hành. Câu 4 (3,0 điểm) 1. y Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: x2 −5x + 7= 3 2. Cho một bảng ô vuông m×n (gồm m dòng và n cột). Cho quy tắc tô màu bảng ô vuông như sau: Mỗi ô vuông đơn vị được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh sao cho bất kì bảng ô vuông 2×3 hoặc 3×2 nào cũng có đúng hai ô được tô màu đỏ. a) Hãy chỉ ra một cách tô màu theo quy tắc trên cho bảng ô vuông 4×6 (Điền chữ Đ vào ô được tô màu đỏ, chữ X vào ô được tô màu xanh). b) Người ta đã tô bảng ô vuông 2021 2022× theo quy tắc trên. Hỏi bảng ô vuông này có bao nhiêu ô được tô màu đỏ? ………………HẾT……………… (File word đề+đáp án: zalo 0984024664 (5k))