MỘT SỐ ĐỀ THI GIỮA KỲ 2 SƯU TẦM VIOLET

ĐỀ 1

Câu 1. (1,0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

3x + y = 5.
7x + 0y = 21.

Câu 2. (2,5 điểm) Giải các hệ phương trình:

Câu 3. (1,0 điểm) Xác định a, b để hệ phương trình nhận cặp số (1 ; -2) là nghiệm.

Câu 4. (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Câu 5. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC.

Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD.
Chứng minh rằng OC vuông góc với DE.

-----HẾT-----

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

MÔN: TOÁN LỚP 9

Câu 1. (1,0 điểm)

3x + y = 5.

⇒ y = 5 – 3x 0,25

Nghiệm tổng quát của phương trình là (x ∈ R ; y = 5 – 3x) 0,25

7x + 0y = 21.

⇒ x = 3 0,25

Nghiệm tổng quát của phương trình là (x = 3 ; y∈ R) 0,25

Câu 2. (2,5 điểm)

Cộng từng vế hai pt của hệ ta được, 7x = 14 0,25

Suy ra, x = 2 0,5

Tính được y = 1 0,25

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x = 2; y = 1). 0,25

Hệ pt tương đương 0,25

⇒ x² = 3 0,25

⇒ x = 0,25

Với x = thì y = 4 0,25

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (; 4) và (; 4). 0,25

Câu 3. (1,0 điểm)

Hệ phương trình nhận cặp số (1 ; -2) là nghiệm khi và chỉ khi:

0,5 đ suy ra 0,5 đ

Câu 4. (1,5 điểm)

Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số áo của tổ thứ nhất và

tổ thứ hai mỗi ngày may được. ĐK: x, y nguyên dương

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 0,5đ

Giải hệ phương trình trên tìm được: (thỏa mãn đk) 0,5đ

Vậy trong một ngày, tổ thứ nhất may được 170 chiếc áo; tổ thứ hai may được 160 chiếc áo. 0,25đ

Câu 5. (3,5 điểm)

		0,25đ

(1,25 điểm)

Ta có và 0,25đ

Do đó + 0,25đ

⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp được. 0,25đ

Ta lại có, 0,25đ

⇒ E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông

Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được. 0,25đ

(1,0 điểm)

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25đ

Hai tam giác vuông ADB và ACK, có:

(góc nội tiếp cùng chắn cung AC) 0,25đ

Suy ra ∆ABD ∽∆AKC (g-g) 0,25đ

Từ đó ta được,

AB.AC = AK.AD
AB.AC = 2R.AD 0,25đ

(1,0 điểm)

Vẽ tiếp tuyến xy tại C của (O)

Ta có OC ⊥ Cx (1) 0,25đ

Mặt khác, AEDB nội tiếp

⇒ 0,25đ

Mà

Nên 0,25đ

Do đó Cx // DE (2)

Từ (1) và (2) ta có: OC ⊥ DE. 0,25đ

* Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng, đều cho điểm tối đa của phần đúng đó.

---------------------------------------------------

ĐỀ 2

Câu 1 (2 điểm):

1) Giải hệ phương trình:

2) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 3x² – x – 2 = 0.

Tính giá trị biểu thức P = x₁² + x₂².

Câu 2 (2 điểm):

Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Câu 3 (2 điểm):

Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx - 1 = 0 (1)

1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.

2) Tìm các giá trị của m để: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7.

Câu 4 (3.5 điểm):

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).

1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) MA² = MD.MB

3) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.

Câu 5 (0.5 điểm):

Giải phương trình:

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

------o0o------

HƯỚNG DẪN CHẤM.

Câu	Ý	Nội dung trình bày	Điểm
1	1		0,5 0,5
1	2	Phương trình 3x² – x – 2 = 0 có các hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = và x₁.x₂ = . Do đó P = = .	0,25 0,25 0,25 0,25
2	1		0,5 0,5
2	2	A < 0 .	0,5 0,5
3	1	Ta có = m² + 1 > 0, ∀m ∈ R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.	1
3	2	Theo định lí Vi-ét thì: x₁ + x₂ = 2m và x₁.x₂ = - 1. Ta có: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7 (x₁ + x₂)² – 3x₁.x₂ = 7 4m² + 3 = 7m² = 1 m = .	0,5 0,5
4			0.5
	1	(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1) Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC (2). Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.	0,5 0,5
	2	Xét ∆MAB vuông tại A có ADMB, suy ra: MA² = MB.MD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)	0,5
	3	Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5). Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì (6) với I là giao điểm của CH và MB. Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.	0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
5		Điều kiện: () (vì ) . Đối chiếu với điều kiện () thì chỉ có x = 2 thỏa mãn.	0.5

ĐỀ 3

Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình và hệ pt sau.

a)

b) x² – 5x + 6 = 0

c) x⁴ – 10x² + 9 = 0

d) x+5 - 7 = 0

Bài 2 (2,0 điểm).

Cho phương trình , ( là ẩn số và là tham số).

a) Giải phương trình khi .

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và với mọi .

Bài 3 ( 1,5 điểm)

Có hai loại quặng sắt: quặng loại I và quặng loại II. Khối lượng tổng cộng của hai loại quặng là 10 tấn. Khối lượng sắt nguyên chất trong quặng loại I là 0,8 tấn, trong quặng loại II là 0,6 tấn. Biết tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại I nhiều hơn tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại II là 10%. Tính khối lượng của mỗi loại quặng?

Bài 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa mật phắng chứa nửa đường tròn tâm O có bờ là AB vẽ tia tiếp tuyến Ax. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).

a. Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. Chứng minh: MA² = MD.MB

c. Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH

Đáp án

Bài	Hướng dẫn chấm	Điểm
1	a.	1
	b) x² – 5x + 6 = 0 (a = 1; b = -5; c = 6) Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: ;	0,5 đ 0,5đ
	c) c) x⁴ – 10x² + 9 = 0 Đặt x² = t sau đó tìm được t = 1; t = 9 Từ đó tìm được 4 nghiệm của pt : x₁ =1; x₂ = -1; x₃=3; x₄=-3	0,5đ
	c) d) x+5 - 7 = 0 Tìm được x = 2	0,5 đ
2	Thay m = 8 vào pt (1) ta có: x² – 8x + 4 = 0 Vậy với m = 8 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: ;	0,25đ 0,25đ 0,5đ
2	Ta có: Vậy PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.	0,75đ 0,25đ
3	Gọi khối lượng quặng loại 1 là x ( Điều kiện: 0< x < 10, tấn) Thì khối lượng quặng loại 2 là : 10 – x (tấn) Tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại 1 là: Tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại 2 là: Do tỉ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại 1 nhiều hơn sắt nguyên chất trong quặng loại 2 là 10% Nên ta có phương trình: , Do đó : Vậy khối lượng quặng loại I là 4 tấn, khối lượng quặng loại II là: 10 – 4 = 6 (tấn).	,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0.25 điểm
4		0.5đ
	(1 đ)
	(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1)	0,25
	Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến).	0,25
	OM là đường trung trực của AC (2).	0,25
	Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.	0,25
	(1đ)
	Ta có ( tính chất tiếp tuyến) ∆MAB vuông tại A	0,25
	Lại có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADMB	0,25
	MA² = MB.MD (hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB)	0,5

	c)(1đ)
	Gọi I là giao điểm của CH và MB. Kéo dài BC cắt Ax tại N. Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∆ACN vuông tại C.	0,25
	Lại có MC = MA nên ∆MAC cân = = (cùng phụ với )∆MNC cân tại M MC = MN, do đó MA = MN (3).	0,25
	Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì (4)	0,25
	Từ (3) và (4) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.	0,25

ĐỀ 4

Câu 17. (2đ) Giải các hệ phương trình sau:

a/ b/

Câu 18. (1đ) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm chiều rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ?

Câu 19. (1đ) Cho hệ phương trình : (I)

Xác định giá trị của m để nghiệm (x₀; y₀) của hệ phương trình (I) thỏa điều kiện: x₀ + y₀ = 1

Câu 20. (2đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung AC. Tia BM cắt AC tại E cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại F. OM cắt AC tại K.

a)Chứng minh tứ giác AHOK nội tiếp.

b)Chứng minh tam giác CEF cân

c)Chứng minh OM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB

Câu	Nội dung trình bày	Điểm
17 (2đ)	1/ (Mỗi bước biến đổi tương đương được 0,5 điểm) 2/ (Mỗi bước biến đổi tương đương được 0,5 điểm)	1.0 1.0
18 (1đ)	Gọi chiều rộng, chiều dài khu vườn hình chữ nhật lần lượt là x, y (m) (ĐK: 0< x < y < 23) Nếu tăng chiều dài 5 m thì chiều dài là: y + 5 (m) Giảm chiều rộng 3 m thì chiều rộng là: x -3 (m) Theo bài ra ta có hệ phượng trình. Giải hệ pt ta được: thoả mãn điều kiện Vậy: chiều rộng khu vườn là 8m; chiều dài là 15m.	0.25 0.25 0.25 0.25
19 (1đ)	Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm (x₀;y₀) và thỏa x₀ + y₀ = 1 Ta có : Hệ đã cho có nghiệm khi m ≠ -2 Theo điều kiện bài ra ta có: (TMĐK Vậy: thì x₀ + y₀ =1	0.5 0.5
20 (2đ)
	Câu a : Tứ giác AHOK nội tiếp	0.5
	-M là điểm chính giữa cung AC => OM ⊥ AC tại K => OKA = 90⁰ -AHOK có AHO = OKA = 90⁰ nên nội tiếp
	Câu b : ∆CEF cân	0.5
	CM ⊥ BM (CMB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM là tia phân giác của ACF (do M là điểm chính giữa cung AC) ∆CEF có CM là đường cao cũng là phân giác nên cân tại C
	Câu c: OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AOB	1.0
	ABC = ABO = sđ AC = sđ AM AOM = sđ AM => ABO = AOM Mà ABO = sđ AO (vì ∆ABO nội tiếp một đường tròn) => AOM = sđ AO (góc AOM có đỉnh O nằm trên đường tròn, cạnh OA là dây và có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) => OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABO

ĐỀ 6

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:a. b. c.

Bài 2: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe.