Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 12 trường THCS&THPT Khai Minh, TP Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
TRƯỜNG THCS – THPT KHAI MINH

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: TOÁN 12
Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
x 1
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm
y  số .
2x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽC
đồ
thị hàm số đã cho.
 của
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
thị tiếp tuyến đó song song với đường
y  thẳng
3x  8.
Cđồ
, biết
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình
log3 3x  5 2 log
 log1 x1.
9 x  1 1
3
1

2x
b) Tính tích phân
I  2
dx.
x 3
0
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
f hàm
x x2số
e1x trên đoạn
1; 2.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp
S. ABCD có đáyABCD là hình thoi cạnh
a 2 và ABC 600 , cho
biếtSA SB  SC  2a . Tính thể tích khối chóp
S. ABCD theoa.
II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm). Trong không gian vớiOxyz
hệ , tọa
chođộ
điểm
M 2; 3;1
  và đường thẳng
x  4 t

d : y  1 2t t  .
z  5 2t

a) Viết phương trình mặt phẳng
M và vuông góc với đường thẳng
d . Tìm tọa độ giao
α đi qua điểm
điểm của đường thẳng
d và mặt phẳng
α.
b) Tìm tọa độ điểm
I thuộc đường thẳng
I cách đều hai điểm
d sao cho điểm
O và M , trong đó
O là
gốc tọa độ.
x và
Câu 5.a (1,0 điểm). Tìm các số
thực
y, biết:x5 3i  y4  i  7 11i .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm). Trong không gian với hệOxyz
tọa, độ
cho mặt phẳng
P : 2x y  z 10 0 và
mặt cầu
S: x1  y  3  z  3  24.
2

2

2

a) Xác định tọa độ tâm
T và bán kính của mặt cầu
S. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
T tâm
trên mặt phẳng
P .
b) Viết phương trình mặt phẳng
S .
Q  song song với mặt phẳng
P  và tiếp xúc với mặt cầu
Câu 5.b (1,0 điểm). Cho số phức
z thỏa mãn
1 i z  2 3i z  3 16i . Tính môđun của số phức

1 z  z2 .
------ HẾT -------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……….
http://detoan.net – Thư viện đề thi toán học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
TRƯỜNG THCS – THPT KHAI MINH

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II - TOÁN 12
Năm học 2013 – 2014

Đáp án gồm 5 trang
Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1
x 1
.
y
(3,0 điểm) Cho hàm số

2x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽC
đồ
thị hàm số đã cho.
 của

 1
\   .
 2

 Tập xác định
D

0, 25

 Sự biến thiên:
+ Giới hạn, tiệm cận

1
1
lim y  : Đồ thị có tiệm cận ngang
y .
x
2
2

0, 25

1
x .
lim y   , lim y   : Đồ thị có tiệm cận đứng
1
1
2
x
x
2

2

+ Lập bảng biến thiên
Ta có y' 

x

3
2

2x 1

y'
y





0, 25

y'  0,  x D .

,

1
2








1
2

0,5

1
2





1  1
2  2




Hàm số đã cho đồng biến trên cáckhoảng
 ; ,  ;  .
Hàm số không có cực trị.
 Đồ thị:
Cho
x  0  y 1: A0;1.

0,25

y  0  x 1: B 1;0.

0,5

http://detoan.net – Thư viện đề thi toán học

Câu

Đáp án

Điểm

y
4

3

2

1

I
-4

-3

-2

-1

x

O

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Viết phương trình tiếp tuyến củaC
đồ
biết tiếp tuyến đó song song với đường
, thị

thẳngy  3x  8.
Gọi M 
x 0; y0  là toạ độ tiếp điểm.
Ta có f 'x0 

3

2x0 1

2

.

Vì tiếp tuyến
song song với đường thẳng
y  3x  8 nên f 'x0  3.

x0  0
.
 3 
2x0 1
x0  1
+ Với x0  0  y0  1. PTTT là: y  3x 1.
+ Với x0  1 y0  2 . PTTT là: y  3x  5.
3



2

0, 25

0, 25
0, 25
0, 25

Câu 2
a) Giải phương trình
log3 3x  5 2 log
 log1 x1.
9 x  1 1
(3,0 điểm)
3

5
Điều kiện:x  .
3
Phương trình đã cho tương đương với:
log3 
1  log3 3x1
3x 5 x


0, 25
0, 25

3x 5 x1 3x1

x  2
 3x  5x 2  0  
x  1
3

Kết hợp với điều kiện, suy ra phương 1
trình
nghiệm
có x 2 .
1
2x
b) Tính tích phân
I  2
dx.
x 3
0
2

Đặt t  x2  3 dt 2xdx
Đổi cận:
x  1 t 4
x  0  t 3
http://detoan.net – Thư viện đề thi toán học

0, 25
0, 25

0, 25
0, 25
0, 25
x2

Câu

Đáp án

Điểm

4
4
1
4
Khi đó I   dt  ln t  ln .
t
3
3
3

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
f hàm
x x2số
e1x trên đoạn
1; 2.
Hàm số đã cho liên tục trênđoạn
1; 2
.

0, 25

Ta có f 'x e1 x 2x  x2 
e1x  0
f 'x 0  e 2x  x  0  
2
2x  x  0
x  2  1; 2

 
.


x  0  1; 2
1x

2

0, 25

4
Tính f 1 e2 , f 2 , f 0 0 .
e
Vậy maxf x f 1 e2 ; minf x f 0 0.
1;2

0, 25
0, 25

1;2

Câu 3
Cho hình chóp
a 2 và ABC 600 , cho biết
S. ABCD có đáyABCD là hình thoi cạnh
(1,0 điểm)

SA SB  SC  2a . Tính thể tích khối chóp
S. ABCD theoa.

Ta có AB  BC  a 2 và ABC 600 .Suy ra tam giác
ABC đều.
Gọi H là tâm của tam giácABC.
đều
S
Khi đó HA  HB  HC và ta lại có
SA SB  SC .
Suy raSH là trục của đường tròn ngoại
tiếp
ΔABC,
haySH  ABC.

0, 25

2a

Câu 4a
(2,0 điểm)

 SH là chiều cao của khối chóp
S. ABCD
Diện tích hình thoi
ABCD
A
1
0
SABCD  2SABC  2. AB. BC.sin 60
 a2 3 .
O
2
0
60
Gọi O là tâm của hình thoi
ABCD. Ta có
H
a 2
B
3 a 6
BO  AB.

2
2
2
2 a 6 a 6
BH  BO  .

.
3
3 2
3
Xét ΔSHB vuông tại
H , ta có
6a2 10a2
a 30
SH2  SB2  BH 2  4a2 

 SH 
.
9
3
3
Thể tích khối chóp
S. ABCD
1
1
a 30 a3 10
VS.ABCD  SABCD.SH  .a2 3.

.
3
3
3
3

D

0, 25

a 2

C

0, 25

0, 25

x  4 t

Oxyz, cho điểm
Trong không gian
M 2; 3;1
  và đường thẳng
d : y  1 2t t  .
z  5 2t

a) Viết phương trình mặt phẳng
d.
α đi qua điểmM và vuông góc với đường thẳng

http://detoan.net – Thư viện đề thi toán học

Câu

Đáp án

Điểm

Tìm tọa độ giao điểm của đườngdthẳng
và mặt phẳng
α.

Đường thẳng
d có VTCPa 1;2; 2
.
 
Vì mặt phẳng
d nên có VTPTn  a  1;2; 2
.
α vuông góc với

0, 25
0, 25

Phương trình mặt phẳng
  và có vectơ pháp tuyến
α đi qua điểmM 2; 3;1

n 1;2; 2
 là:
0, 25
x2
1x  2 2y  3 2z  1 0  x 2y  2z  6  0.
Gọi H  d  α.
ĐiểmH  d  H 4 t;1 2t ;5 2t.

0, 25

ĐiểmH  α 4 t 21 2t 25 2t 6  0  t  2 .
Với t  2 H 2; 5;1
.

0, 25
b) Tìm tọa độ điểm
I thuộc đường thẳng
I cách đều hai điểm
d sao cho điểm
O và M .
ĐiểmI  d  I 4 t;1 2t ;5 2t
0, 25
Vì điểmI cách đều hai điểm
O và M nên
IO  IM

0 4t  01 2t 05 2t  2 4t  31 2t  1 5
2
2
2
2
2
2
 4 t  1 2t  5 2t  2 t  2 2t  6 2t
2



2

2

2

2

1
6
1
23 4 14
Với t    I  ; ; .
6
6 3 3
x và y, biết:x5 3i  y4  i  7 11i .
Tìm các số thực
 t 

Câu 5a
(1,0 điểm)

2t

2

0, 25

Ta có x5 3i  y4 i  7 11i


5x  4y  3x yi  7 11i

0, 25
x2

5x  4y  7
0, 25
 

3
x

y

11

x  3
 
0, 25
y  2
Câu 4.b Trong không gian với hệ tọa
Oxyz
độ, cho mặt phẳng
P : 2x y  z 10 0 và mặt cầu

(2,0 điểm)

S: x1  y  3  z  3  24.
2

2

2

a) Xác định tọa độ tâm
T và bán kính của mặtcầu
S. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
của tâm
T trên mặt phẳng
P .
Mặt cầuS có tâmT  1; 3;3
  và bán kính
r  2 6.

0, 25

Gọi d là đường thẳng đi quaTtâm
và vuông góc với mặt phẳng
P .

Mặt phẳng
P  có VTPT nP  2;1;1.
 
Vì d  P  nên có VTCPad  nP  2;1;1.

0, 25

http://detoan.net – Thư viện đề thi toán học

Câu

Đáp án

Điểm

Phương trình tham số của đườngdthẳng
đi qua tâm
T  1; 3;3
  và có vectơ

ad  2;1;1 là:
chỉ phương
x  1 2t

t  .
y  3 t
z  3 t

Gọi H là hình chiếu của T
tâm
trên mặt phẳng
P . Suy raH  d  P .
ĐiểmH  d  H 1 2t ;3 t; 3 t.
ĐiểmH  P  2
 1 2t 3 t  3 t10 0  t 3.
Với t  3  H 5; 0;0.
b) Viết phương trình mặt phẳng
S.
Q  song song
P  và tiếp xúc với mặtcầu
Phương trình mặt phẳng
Q  song song với mặt phẳng
P  có dạng:
2x  y  z  D  0, với D  10.
Vì mặt phẳng
Q tiếp xúc với mặt cầu
S nên

0, 25

d T ,Q r


2.11.31.3 D
2

22   1 12

0, 25

2 6

  8 D  12
8 D  12
D  20
(nhận)
 
 
8 D  12 D  4
Vậy có2 phương trình mặt phẳng
Q là:
2x  y  z  20 0 , 2x y  z  4  0.

0, 25
0, 25

Câu 5.b Cho số phức
1 i z  2 3i z  3 16i . Tính môđun của số phức
z thỏa mãn
1 z  z2 .

(1,0 điểm)

Gọi số phức
z  a  bi , với a, b  .
Ta có1 i z  2 3i z  3 16i

 1 i  a
  bi 2 3i  a bi 3 16i
 a bi  ai  bi2  2a  2bi  3ai  3bi2  3 16i

0, 25

 a 4b  2a  3bi  3 16i
a  4b  3
a  5
 
 
2a  3b  16 b  2
Suy ra số phức
z  5 2i .
Ta có

0, 25

1 z  z2  1  5 2i   5 2i   1  5 2i  25 20i  4i 2  1718i .

0, 25

Do đó1 z  z2  1718i  172   18  613.

0, 25

2

2

http://detoan.net – Thư viện đề thi toán học