Đề thi chọn HSG Toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN – BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để A = a 2 + 4 a + 2021 là một số chính phương. b) Cho đa thức P(x với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2019).P(2020) 2021. Chứng minh rằng đa thức P(x 2022 không có nghiệm nguyên. Câu 2 (6,5 điểm). a) Giải phương trình x 2 − 5 x + 2 = 2 x − 1 − 3 x + 3 b) Giải hệ phương trình y 2 − y ( x 2 − x − 1) = x 2 − x y ( x 2 + 1) − x 3 + x2 = 2 Câu 3 (1,5 điểm). Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab bc nhất của biểu thức P = ca 1. Tìm giá trị nhỏ a 2 + b 2 + c2 + 3 a + b + c − abc Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D,E,F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A,B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC. a) Chứng minh rằng 4 điểm E,K,D,F cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho MAP = BAC . Chứng minh rằng SAMF = SAMP MF (Trong đó SAMF, SAMP lần lượt là diện tích MP các tam giác AMF và AMP). Câu 5 (3,0 điểm). a) Cho hình thoi ABCD có AB a. Gọi R1,R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng R1 + R2 a 2. b) Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu. ……………Hết…………… Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh…………………… Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi. (File word đề+đáp án: zalo 0984024664 (5k))