Đề thi chọn HSG Toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2020-2021

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (4,0 điểm) 1. Cho x + y + z = 1 và a + b + c = 0 . Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z2 = 1 a b c x y z a 2 b 2 c2 2. Cho biểu thức P = 2 x + 2 + x x − 1 − x x +1 x x − xx + x a. Rút gọn P . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x≥4. 2 2 Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: x −2mx + m − m −6 = 0 (m là tham số). 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm. 2. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1 + x2 = 8 Câu 3 (4,0 điểm) x 3 + xy + x = 2 x 2 y + 2 y 2 + 2 y 1. Giải hệ phương trình: −4x+1=32y x+1+ 4y2 2. Tìm các số tự nhiên x, y, z sao cho x2 + y2 + z2 + 3 < xy + 3y + 2z Câu 4 (2,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a b c + + thức: P = b3 + 5b2 − 3b + 18 c3 + 5c2 − 3c + 18 a3 + 5a2 − 3a + 18 ( ) vuông tại A AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D, Câu 5 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC . Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF, DF lần lượt tại I, K . 1. Tính số đo góc BIF . 2. Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE. a. Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF . Chứng minh rằng ba điểm A, O, H thẳng hàng. b. Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O); P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF . 1. Cho 19 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng nằm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ít nhất một góc không lớn hơn 45 0 và nằm trong đường tròn có bán kính nhỏ hơn 3 . 5 abc −1 P = 2. Tìm các số tự nhiên nhận giá trị a, b, c thỏa mãn 1< a < b < c và ( a − 1)(b − 1)( c −1) nguyên. ====== Hết ====== Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:…….................... (File word đề+đáp án: zalo 0984024664 (5k))