Đề 57-ÔN TẬP FULL LỚP 12

ĐỀ SỐ 57 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: FULL KIẾN THỨC TOÁN 12+ Câu 1. Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x ? x ln10 1 A. ( log x ) = . B. ( log x ) = . C. ( log x ) = . ln10 x x ln10 Câu 2. Thể tích hình lập phương cạnh 3 là: A. 3 . B. 3 . C. 6 3 . Câu 3. Trong các hàm số sau,hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? D. ( log x ) = x ln10 . D. 3 3 . x  3 A. y = ln x . B. y = log 0,99 x . C. y =  D. y = x−3 .  .  4 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , khoảng cách từ A ( −2;1; −6 ) đến mặt phẳng ( Oxy ) là A. 6 . B. 2 . C. 1 . D. Câu 5. Bất phương trình ( 3x − 1)( x 2 + 3x − 4 )  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6? A. 9 . B. 5 . Câu 6. Tập xác định D của hàm số y = log 2022 ( 2 x −1) là C. 7 . 7 . 41 D. Vô số. 1  1  C. D =  ; +   . D.  ; +   . 2  2  2 Câu 7. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z −16z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng toạ A. D = ( 0; +  ) . B. D = . độ, điểm nào dưới dây là điểm biểu diễn của số phức w = iz0 .  1  1  1   1  A. M 2  − ; 2  . B. M 4  ;1 . C. M 1  ; 2  . D. M 3  − ;1 . 2   4   2  4  Câu 8. Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh bằng a . Tính diện tích toàn phần S của hình trụ.  a2 3 a 2 A. S = 4 a 2 . B. S =  a2 . C. S = . D. S = . 2 2 Câu 9. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2 −1 + yi = −1 + 2i . Giá trị của 2x + y là A. 5 . B. 4 . Câu 10. Cho z = 3 + 5i . Tính z . C. 2. D. 2 . A. 8 . B. 8 . C. 34 . D. 34 . Câu 11. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ? 2x −1 1− x A. y = . B. y = . C. y = 2 x3 − 3x2 − 2 . D. y = − x3 + 3x − 2 . x+3 1+ x Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , xác định tọa độ tâm I của mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 8z = 0 . A. I ( −2;1; − 4 ) . B. I ( −4; 2; − 8 ) . C. I ( 2; − 1; 4 ) . D. I ( 4; − 2;8 ) . HOÀNG XUÂN NHÀN 600 Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số y = e2x − e− x là 1 A. e2 x − e − x + C . B. 2e2 x + e− x + C . 2 1 C. 2e2 x − e− x + C . D. e2 x + e − x + C . 2 Câu 14. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình bên ? A. y = − x3 + 3x −1 . B. y = − x4 + 2 x2 − 1. C. y = x4 − 2 x2 − 1. D. y = x3 − 3x −1 . Câu 15. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AD = 4 ; SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 6 . Tính thể tích của khối chóp. A. 8 . B. 16 . C. 24 . D. 48 . 2 Câu 16. Cho hàm số f ( x ) = x + sin x + 1 . Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) và F ( 0 ) = 1 . Tìm F ( x ) . A. F ( x ) = x 3 − cos x + x + 2 . x3 − cos x + x + 2 . 3 Câu 17. Cho số phức z = a + bi ( a, b  x3 + cos x + x . 3 x3 D. F ( x ) = − cos x + 2 . 3 2 2 và xét hai số phức  = z + ( z ) và  = 2 z.z + i ( z − z ) . Trong các B. F ( x ) = C. F ( x ) = ) khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A.  là số thực,  là số thực. C.  là số thực,  là số ảo. B.  là số ảo,  là số thực. D.  là số ảo,  là số ảo.  x = 1 + 2t  Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 1 − t ; t  . Đường thẳng d có  z = 5 + 3t  một vec tơ chỉ phương là A. u = ( 2;1;3) . B. u = ( 2; −1;3) . C. u = (1;1;5 ) . D. u = ( −2; −1;3) . Câu 19. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn alog2 5 = 4 , blog4 6 = 16 , clog7 3 = 49 . Tính giá trị T = alog2 5 + blog4 6 + 3clog7 3 . A. T = 126 . B. T = 5 + 2 3 . 2 Câu 20. Cho 2 2 4 1 −2 −2 2  f ( x )dx = 1 ,  f ( t )dt = −4 . Tính I =  f ( 2 y )dy . A. I = 2,5 . B. I = −5 . C. I = −3 . Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (S ) : x 2 ( P) : x + D. I = 3 . 2 y − z + 3 = 0 cắt mặt cầu + y + z = 5 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là: 2 2 11 9 . B. . 4 4 Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên A. D. T = 3 − 2 3 . C. T = 88 . 2 15 7 . D. . 4 4 và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. C. HOÀNG XUÂN NHÀN 601 Khi đó số cực trị của hàm số y = f ( x ) là A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 .     Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a , gọi  là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( BBDD ) . Tính sin  . 3 3 3 1 . B. . C. . D. . 4 2 5 2 Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + 3 j − k , b = ( 2;3; −7 ) . Tìm tọa độ của x = 2a − 3b A. A. x = ( 2; − 1; 19 ) . Câu 25. Trên đồ thị hàm số y = A. 1. Câu 26. Câu 27. Câu 28. Câu 29. B. x = ( −2; 3; 19 ) . C. x = ( −2; − 3; 19 ) . D. x = ( −2; − 1; 19 ) . 2x −1 có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? 3x + 4 B. 2. C. 0. D. 4. 2 + 3i Cho z = . Xác định số phức liên hợp z của z . 4 + 2i 2 8 7 2 1 2 14 2 + i. A. z = + i . B. z = − i . C. z = + i . D. z = 10 20 10 5 10 5 20 5 Cho khối chóp S.ABC có thể tích V , nếu giữ nguyên chiều cao và tăng các cạnh đáy lên 3 lần thì thể tích khối chóp thu được là A. 3V . B. 6V . C. 9V . D. 12V . Số phức z = ( 2 + 3i )(1 − i ) có phần ảo bằng: A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 5 . 3 2 Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ( m − 1) x − 6mx − 6 x + 5 nghịch biến trên là đoạn  a ; b  . Khi đó a + b bằng 1 1 B. − . C. . D. 2 . 2 2 Câu 30. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua M ( −1; 2;1) đồng thời vuông góc với mặt phẳng A. 1 . ( P ) : x + y − z + 1 = 0 có phương trình là x + 1 y − 2 z −1 x −1 y + 2 z + 1 = = = = . B. . 1 1 −1 1 1 −1 x +1 y +1 z −1 x −1 y −1 z +1 = = = = C. . D. . −1 2 1 −1 2 1 Câu 31. Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa cạnh bên của lăng trụ A. và mặt phẳng đáy bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . 3a 3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 24 4 8 5 481 Câu 32. Cho hàm số y = x3 − x 2 − 6 x + . Tìm số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường 2 27 7 thẳng y = 2 x − . 3 A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; −1) . Mặt phẳng đi qua A và chứa trục Oy là A. y = 2 . B. x + z = 0 . C. x − z = 0 . D. x − 2 z = 0 . HOÀNG XUÂN NHÀN 602 Câu 34. Cho ABCD. ABCD là hình lập phương cạnh 2a . Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương bằng a 2 A. 2a 2 . B. . C. a 3 . D. a 2 . 2 Câu 35. Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm , bán kính đáy bằng 6cm . Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón ( N ) đỉnh S có đường sinh bằng 4cm . Tính thể tích của khối nón ( N ) . 768 786 2304 2358  cm3 .  cm3 .  cm3 .  cm3 . A. V = B. V = C. V = D. V = 125 125 125 125 x x x Câu 36. Tập nghiệm của bất phương trình 15.25 − 34.15 + 15.9  0 là 3 5  3 5  A. ( −; −1  1;  ) . B.  ;  . C.  −1;1 . D.  −;    ;   . 5 3  5 3  x +1 Câu 37. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = −2 x + m − 1 ( m là tham số thực). Gọi k1 , x+2 k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của d và ( C ) . Khi đó k1.k2 bằng 1 . D. 2 . 4 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = 0 với c  0 đi qua hai A. 3 . B. 4 . C. điểm A ( 0;1;0 ) , B (1;0;0 ) và tạo với mặt phẳng ( yOz ) một góc 60 . Khi đó giá trị a + b + c thuộc khoảng nào dưới đây? A. ( 0;3 ) . B. ( 3;5 ) . C. ( 5;8 ) . D. ( 8;11)   4 x + 1  Câu 39. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 1 log 2     −1  x − 1  2  A. \ 1 . B. (1; + ) . 3  D.  −; −   (1; + ) . 2  Câu 40. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;3; −1) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z = 1 . Gọi N là hình chiếu C. . vuông góc của M trên ( P ) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN . A. x − 2 y + 2 z + 3 = 0 . B. x − 2 y + 2 z + 1 = 0 . C. x − 2 y + 2 z − 3 = 0 . D. x − 2 y + 2z + 2 = 0 . ( m + 1) x + 2 trên đoạn 1;3 bằng 1 , mệnh đề nào dưới đây Câu 41. Giả sử giá trị nhỏ nhất của hàm số y =   2 −x + m đúng? 1  A. m  ( −5; −3) . B. m  ( 2; 4 ) . C. m  ( −9; −6 ) . D. m   −1;  . 2  Câu 42. Cho tích phân   cos 2x cos 4xdx = a + b 0 − 3 , trong đó a, b là các hằng số hữu tỉ. Tính e a + log 2 b . 3 1 . D. 0 . 8 Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tam giác ABC đều cạnh bằng a 3 A. −2 . B. −3 . C. , tam giác SAC cân. Tính khoảng cách h từ A đến ( SBC ) . HOÀNG XUÂN NHÀN 603 A. h = Câu 44. Cho 3a . 7 hàm B. h = số f ( x) a 3 . 4 liên a . 7 trên D. h = C. tục f ( x ) + ( 5 x − 2 ) f ( 5 x 2 − 4 x ) = 50 x3 − 60 x 2 + 23x − 1, x  tập số thực a 3 . 7 thỏa mãn 1 . Hãy tính  f ( x )dx . 0 A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 6 . Câu 45. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r ( h  2r  0 ) . 4r 2 h2 4r 2 h 2 4r 2 h 2 3r 2 h 2 . B. V = . C. V = . D. V = . 3 ( h + 2r ) 3 ( h − 2r ) 4 ( h − 2r ) ( h + 2r ) Câu 46. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx − m − 3 cắt đồ thị ( C ) : y = 2 x3 − 3x 2 − 2 tại ba điểm phân biệt A , B , I (1; −3) mà tiếp tuyến của ( C ) tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S . A. −1. B. 1 . C. 2 . D. 5 . 3 1 Câu 47. Cho đường thẳng y = x và parabol y = x 2 + a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 , S2 lần lượt là 4 2 diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. V = 1 9  A.  ;  .  4 32   7 1 B.  ;  .  32 4   3 7  C.  ;  .  16 32   3 D.  0;  .  16  Câu 48. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số y = mx9 + ( m2 − 3m + 2 ) x 6 + ( 2m3 − m 2 − m ) x 4 + m 2024 − m 2025 đồng biến trên . A. Vô số. B. 1. Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu C. 3 . D. 2 . 2 2 2 ( S ) : x + y + z − 2 x + 2 z + 1 = 0 và đường thẳng x y−2 z = = . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T và T  . Tìm tọa độ 1 1 −1 trung điểm H của TT  . 5 1 5 5 2 7  5 1 5  7 1 7 A. H  ; ; −  . B. H  ; ; −  . C. H  − ; ;  . D. H  − ; ;  . 6 3 6 6 3 6  6 3 6  6 3 6 2 x + x +1  − 32+ x +1 + 2024 x − 2024  0 3 Câu 50. Cho hệ bất phương trình  2 ( m là tham số). Gọi S là tập tất cả các 2 x − m + 2 x − m + 3  0 ( )   giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S . A. 10 . B. 15 . C. 6 . D. 3 . ________________HẾT________________ d: HOÀNG XUÂN NHÀN 604 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 57 1 C 11 A 21 A 31 D 41 C 2 D 12 C 22 A 32 C 42 A 3 A 13 D 23 D 33 B 43 A 4 A 14 C 24 C 34 D 44 A 5 C 15 B 25 B 35 A 45 C 6 C 16 C 26 B 36 A 46 A 7 A 17 A 27 C 37 B 47 C 8 D 18 B 28 B 38 A 48 B 9 D 19 C 29 B 39 B 49 A 10 D 20 A 30 A 40 A 50 D thực thỏa Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 57 Câu 44. Cho hàm số f ( x) liên tục trên tập số mãn 1 f ( x ) + ( 5 x − 2 ) f ( 5 x 2 − 4 x ) = 50 x3 − 60 x 2 + 23x − 1, x  . Hãy tính  f ( x )dx . 0 A. 2 . C. 3 . Hướng dẫn giải: B. 1 . D. 6 . Theo giả thiết: f ( x ) + ( 5 x − 2 ) f ( 5 x 2 − 4 x ) = 50 x3 − 60 x 2 + 23x − 1, x  1 Lấy tích phân hai vế của (*): 1  f ( x ) dx +  (5x − 2) f (5x 0 1 Suy ra 0 1  f ( x ) dx +  ( 5x − 2) f (5x 0 2 (*) . 1 2 − 4 x )dx =  ( 50 x3 − 60 x 2 + 23x − 1) dx 0 − 4 x ) dx = 3 (**). 0 I J 1 1 Xét J =  ( 5 x − 2 ) f ( 5 x 2 − 4 x ) dx . Đặt t = 5 x 2 − 4 x  dt = (10 x − 4 ) dx  dt = ( 5 x − 2 ) dx . 2 0 1 1 x = 0  t = 0 1 1 1 Đổi cận:  . Khi đó: J =  f ( t ) . dt =  f ( x ) dx = I . 2 20 2 x = 1  t = 1 0 1 1 Choïn →A Thay vào (**), ta được: I + I = 3  I = 2. Vậy  f ( x )dx . ⎯⎯⎯ 2 0 Câu 45. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r ( h  2r  0 ) . A. V = 4r 2 h2 . 3 ( h + 2r ) B. V = 4r 2 h 2 4r 2 h 2 . C. V = . 3 ( h − 2r ) ( h + 2r ) Hướng dẫn giải: D. V = 3r 2 h 2 . 4 ( h − 2r ) HOÀNG XUÂN NHÀN 605 Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác SMN , suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN . Mặt khác, do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp này, bán kính mặt cầu là r = IO . Xét SMO có MI là đường phân giác ta có: SM SI h2 + x 2 h − r = (với x = MO ).  = MO IO x r hr 2 hr 2 BC =2 x 2 2  r 2 ( x 2 + h 2 ) = x 2 ( h − r )  x 2  r 2 − ( h − r )  = −r 2 h 2  x 2 = .  S ABCD = BC 2 = 4   h − 2r h − 2r 1 4h 2 r 2 Choïn →C Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V = h.S ABCD = . ⎯⎯⎯ 3 3 ( h − 2r ) Câu 46. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx − m − 3 cắt đồ thị ( C ) : y = 2 x3 − 3x 2 − 2 tại ba điểm phân biệt A , B , I (1; −3) mà tiếp tuyến của ( C ) tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S . A. −1. B. 1 . C. 2 . D. 5 . Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( d ) : x = 1 (*) 2 x3 − 3x2 − 2 = mx − m − 3  ( x − 1) ( 2 x 2 − x − m − 1) = 0   2  g ( x ) = 2x − x − m −1 = 0 Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x  1 −9   m   g = 1 + 8m + 8  0   8 . 2  m  0  g (1) = 2.1 − 1 − m − 1  0 Do hai tiếp tuyến của ( C ) tại A và B vuông góc nhau nên k1.k2 = −1 trong đó k1 , k2 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của ( C ) tại A và B. Ta có : y = 6x2 − 6x  k1 = ( 6 x12 − 6 x1 ) , k2 = ( 6 x22 − 6 x2 ) . Do k1.k2 = −1 nên ( 6 x12 − 6 x1 )( 6 x22 − 6 x2 ) = −1  36 ( x1 x2 ) − 36 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 + 1 = 0 (*) . 2 1   x1 + x2 = 2 Theo định lí Vi-ét, ta có :  . x x = − m +1  1 2 2  m +1   m +1  1  m +1  2 Do đó (*)  36  −  − 36  −  + 36  −  + 1 = 0  9m + 9m + 1 = 0 . 2  2 2 2     9 Choïn →A Tổng các phần tử của S là: m1 + m2 = − = −1 . ⎯⎯⎯ 9 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 606 3 1 x và parabol y = x 2 + a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 , S2 lần lượt là 4 2 diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? Câu 47. Cho đường thẳng y = 1 9  A.  ;  .  4 32   7 1  3 7  B.  ;  . C.  ;  .  16 32   32 4  Hướng dẫn giải:  3 D.  0;  .  16  1 2 3 x + a = x  2 x 2 − 3x + 4a = 0 (1) . 2 4 Dựa vào đồ thị, ta thấy rằng phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0  x1  x2 Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị:  = 9 − 32a  0 9   0a . 3 4a 32  S = 2  0; P = 2  0 x1 x2 x2 3  1 2 3  1 2 3  1 Ta có: S1 =   x + a − x  dx ; S2 =   x − x − a  dx = −   x 2 + a − x  dx . 2 4  4 2 2 4   0 x1  x1  x1 x 2 3  3  1 1 S1 = S2  S1 − S2 = 0    x 2 + a − x  dx +   x 2 + a − x  dx = 0 2 4  2 4  0 x1  x2  x3 3  3  1    x 2 + a − x  dx = 0   + ax − x 2  = 0 2 4  8 0 6 0  1 3 1 3  x23 + ax2 − x 22 = 0  x22 + a − x2 = 0  4 x22 + 24a − 9 x2 = 0 6 8 6 8 x2 (2) . Hơn nữa, x2 cũng thỏa mãn (1), tức là: 2 x22 − 3x2 + 4a = 0  4a = − ( 2 x22 − 3x2 ) (3). Thay (3) vào (2): 4 x22 − 6 ( 2 x22 − 3x2 ) − 9 x2 = 0  −8 x22 + 9 x2 = 0  Với x2 = x2 x2 0 (loaïi) (do a  0 ). 9 (nhaän) 8 27  3 7  9 ( 3) Choïn →C   ;  . ⎯⎯⎯ a = 8 128  16 32  Câu 48. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số y = mx9 + ( m2 − 3m + 2 ) x 6 + ( 2m3 − m 2 − m ) x 4 + m 2024 − m 2025 đồng biến trên A. Vô số. . B. 1. C. 3 . Hướng dẫn giải: D. 2 . HOÀNG XUÂN NHÀN 607 Tập xác định hàm số: D = . Ta có: y = 9mx8 + 6 ( m2 − 3m + 2 ) x5 + 4 ( 2m3 − m2 − m ) x3 ; y = x3 9mx5 + 6 ( m2 − 3m + 2 ) x 2 + 4 ( 2m3 − m2 − m )  = 0 x 0 (nghieäm boäi leû) g ( x) 9mx5 6(m2 3m 2) x2 4(2m3 m2 m) 0 . Điều kiện cần: Hàm số đã cho đồng biến trên  x = 0 là nghiệm bội chẵn của phương trình y = 0  x = 0 là nghiệm bội lẻ của phương trình g ( x ) = 0 . m = 1  1 Do đó: g ( 0 ) = 0  2m3 − m2 − m = 0   m = − . 2  m = 0  Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị m vừa tìm được. Với m = 0 , ta có y = 12x5 (không thỏa mãn y  0, x  Với m = 1, ta có y = 9 x8  0, x  (thỏa mãn). ). x = 0 1 9 45 9 Với m = − , ta có y = − x8 + x5 = − x5 ( x3 − 5) = 0   (không thỏa mãn 3 2 2 2 2 x = 5 y  0, x  ). Choïn →B Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m = 1. ⎯⎯⎯ 2 2 2 Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 2 z + 1 = 0 và đường thẳng x y−2 z = = . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T và T  . Tìm tọa độ 1 1 −1 trung điểm H của TT  . 5 1 5 5 2 7  5 1 5  7 1 7 A. H  ; ; −  . B. H  ; ; −  . C. H  − ; ;  . D. H  − ; ;  . 6 3 6 6 3 6  6 3 6  6 3 6 Hướng dẫn giải: d: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 0; − 1) , bán kính R = 1 . Gọi K = d  ( ITT  ) . Ta có d ⊥ IT  d ⊥ ( ITT  ) nên K là hình chiếu vuông góc của I trên d .  d ⊥ IT  x = t  Phương trình tham số của d:  y = 2 + t với vectơ chỉ phương là ud = (1;1; −1) .  z = −t  Gọi K ( t ; 2 + t ; −t )  d , suy ra IK = ( t − 1; t + 2;1 − t ) ; IK ⊥ ud  IK .ud = 0  t − 1 + t + 2 − 1 + t = 0  t = 0 . Suy ra K ( 0; 2; 0 ) và IK = 6 . 2 R2  1  1 IH IH .IK IT 2 = = = . = = Ta có : IK IK 2 IK 2 IK 2  6  6 HOÀNG XUÂN NHÀN 608 6 ( xH − 1) = −1  1 5 1 5 Choïn →A  IH = IK  6 IH = IK  6 yH = 2  H  ; ; −  . ⎯⎯⎯ 6 6 3 6 6 x + 1 = 1  ( H ) 2 x + x +1  − 32+ x +1 + 2024 x − 2024  0 3 Câu 50. Cho hệ bất phương trình  2 ( m là tham số). Gọi S là tập tất cả các 2 x − m + 2 x − m + 3  0 ( )   giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S . A. 10 . B. 15 . C. 6 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Điều kiện: x  −1. 2 x+ Ta có: 3 x +1 − 32+ x +1 + 2024 x − 2024  0  32 x + x +1 + 2024 x  32+ x +1 + 2024 (1)  32 x + x +1 ( ) + 1012 2 x + x + 1  32+ Xét hàm số f ( t ) = 3t + 1012t trên biến trên ( x +1 ( + 1012 2 + x + 1 ) (2). ; f  ( t ) = 3t ln 3 + 1012  0, t  ) ( ) , suy ra f ( t ) là hàm số đồng . Do đó ( 2 )  f 2 x + x + 1  f 2 + x + 1  2 x + x + 1  2 + x + 1  −1  x  1 . Vậy tập nghiệm của (1) là S1 =  −1;1 . Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x 2 − ( m + 2 ) x − m2 + 3  0 có tập nghiệm S2 thỏa S2  S1   tức là (3) có ít nhất một nghiệm thuộc  −1;1 . ( 3) Đặt g ( x, m) = x2 − ( m + 2) x − m2 + 3 với  = ( m + 2 ) + 4m2 − 12 = 5m2 + 4m − 8 . 2 Trường hợp 1:   0  −2 − 2 11 −2 + 2 11 m . Khi đó g ( x, m )  0, x  5 5 −1,73 g ( x, m )  0, x   −1;1. Vì vậy nên  0,93 −2 − 2 11 −2 + 2 11 m thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 5 5 −1,73  0,93  −2 + 2 11 m  5   0,93 Trường hợp 2:   0   . Khi đó g ( x, m ) = 0 có hai nghiệm x1  x2 .  −2 − 2 11 m  5   −1,73 Ta cần g ( x, m )  0 có nghiệm thuộc đoạn  −1;1 . Tuy nhiên, ta xét trường hợp phủ định với nó là:  1 + m + 2 − m2 + 3  0  g ( −1)  0  g ( x, m )  0 không có nghiệm thuộc đoạn  −1;1 , khi đó:   2 1 − m − 2 − m + 3  0  g (1)  0   m  −2  m  3  m  −2   (*). Lấy phủ định lại kết quả của (*), ta có: −2  m  3 . m  −2  m  1 m  3 Hợp kết quả của hai trường hợp trên, ta có m   −2;3 mà m nguyên nên S = −2; − 1;0;1; 2;3 . Choïn →D Tổng các phần tử của S bằng 3. ⎯⎯⎯ HOÀNG XUÂN NHÀN 609