Đề 56-ÔN TẬP FULL LỚP 12.

ĐỀ SỐ 56 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: FULL KIẾN THỨC TOÁN 12+ Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y − 1) + z 2 = 2 . Trong các điểm cho 2 dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu ( S ) ? A. M (1;1;1) . B. N ( 0;1; 0 ) . Câu 2. Cho hàm số f ( x ) xác định trên C. P (1;0;1) . D. Q (1;1; 0 ) . và có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị dương? Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. A. 2. B. 3. C. 1. Đặt a = log5 3 . Tính theo a giá trị của biểu thức log9 1125 . 3 3 2 A. log9 1125 = 1 + . B. log9 1125 = 2 + . C. log 9 1125 = 2 + . 2a a 3a Thể tích khối tứ diện đều cạnh a bằng a3 3 a3 3 a3 2 A. . B. . C. . 4 2 12 x+2 −2 Giới hạn lim bằng x→2 x−2 1 1 A. . B. . C. 0 . 2 4 Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x − 1)  3 là: D. 4. A. ( − ;10 ) . D. ( − ;9 ) . B. (1;9 ) . C. (1;10 ) . Câu 7. Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương nào dưới đây có dạng đồ thị hình vẽ bên A. f ( x) = x4 − 2x2 . B. f ( x) = − x4 + 2x2 . C. f ( x) = x4 + 2x2 . D. f ( x) = − x4 + 2x2 −1. x = 1− t  Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −2 + 2t . Vectơ nào z = 1+ t  dưới đây là vectơ chỉ phương của d ? A. n = (1; − 2;1) . B. n = (1; 2;1) . C. n = ( −1; − 2;1) . D. log 9 1125 = 1 + D. 3 . a a3 2 . 6 D. 1 . D. n = ( −1; 2;1) . Câu 9. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số được cho dưới đây không có tiệm cận ngang? x+2 x+2 1 x2 −1 A. y = 2 . B. y = . C. y = . D. y = . x +1 x +1 x+2 x+2 HOÀNG XUÂN NHÀN 589 Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5cos x + 1 là hàm số nào sau đây: x2 1 A. F ( x) = −5sin x − + C . x Câu 11. Câu 12. Câu 13. Câu 14. 1 +C . x 1 C. F ( x) = 5sin x + ln x + C . D. F ( x) = 5sin x − + C . x 4 Thể tích của khối nón có chiều cao bằng và đường sinh bằng 5 bằng A. 16 . B. 48 . C. 12 . D. 36 . 3 Đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 cho ở hình bên. Phương trình x3 − 3x − m = 0 ( m là tham số) có ba nghiệm phân biệt khi A. −1  m  3 . B. −2  m  2 . C. −2  m  3 . D. −2  m  2 . Cho khối chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 3a , ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a , AD = a . Thể tích của khối chóp S. ABCD bằng 3 A. a 3 . B. 3a3 . 2 C. 2a3 . D. 9a3 . Với a và b là các số thực dương. Biểu thức log a ( a 2b ) bằng A. 2 − loga b . B. F ( x) = 5sin x + B. 2 + loga b . C. 1 + 2log a b . D. 2loga b . Câu 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x − 4 x và trục hoành. 41 32 7 9 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 4 4 Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng ( Oyz ) ? 2 A. y = 0 . B. z = 0 . C. y + z = 0 . D. x = 0 . Câu 17. Cho số phức z = 1 + i . Số phức liên hợp của z là A. z = 2 . B. z = −2 + 2i . C. z = 0 . D. z = −2 . 2 Câu 18. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 A. V = a 3 . B. V = 3a3 . C. V = a3 . D. V = 9a3 . 2 Câu 19. Cho x , y là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2020 A. ex+ y = ex + e y . 2 Câu 20. Tích phân B. e x− y = ex − e y . C. exy = ex e y . D. ex = e x− y . y e 2  2 x + 1dx bằng. 0 1 ln 5 . C. ln 5 . 2 Câu 21. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng (1;5 ) ? A. 2ln 5 . B. D. 4ln 5 . HOÀNG XUÂN NHÀN 590 A. y = x +1 . 3x + 2 B. x−3 . x−4 C. y = 3x − 1 . x +1 D. 2x +1 . x−2 2 x−1 Câu 22. Câu 23. Câu 24. Câu 25. 27 2 Nghiệm của phương trình   là = 8 3 A. x = 2 . B. x = 3 . C. x = −1 . D. x = 4 . Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a là a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = a3 3 . C. V = . D. V = . 2 4 3 2 Cho số phức z thỏa mãn: ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Trong các hàm số được cho dưới đây, hàm số nào có tập xác định là D = ? 2 A. y = ln ( x 2 − 1) . B. y = ln (1 − x 2 ) . C. y = ln ( x + 1) . D. y = ln ( x 2 + 1) . Câu 26. Cho khối lăng trụ ABCD. ABCD có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A.BCO bằng A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . 3 2 Câu 27. Ta xác định được các số a , b , c để đồ thị hàm số y = x + ax + bx + c đi qua điểm (1;0 ) và có điểm cực trị ( −2; 0 ) . Tính giá trị biểu thức T = a2 + b2 + c2 . A. 25 . B. −1. C. 7 . D. 14 . Câu 28. Hình chóp đều S. ABCD tất cả các cạnh bằng a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A. 4 a 2 . B.  a 2 . C. 2 a 2 . D. 2 a 2 . Câu 29. Cho A = 1, 2,3, 4 . Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 32 . B. 24 . C. 256 . D. 1 . mx + 16 Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = đồng biến trên ( 0; 10 ) . x+m A. m  ( −; − 10  ( 4; +  ) . B. m  ( −; − 4 )  ( 4; +  ) . C. m  ( −; − 10   4; +  ) . D. m  ( −; − 4   4; +  ) Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2; − 2;3) và hai đường thẳng  : x−4 y +3 z −2 = = , 3 −1 2 x +1 y − 2 z = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua M 2 3 1 và vuông góc với hai đường thẳng  và   ?  x = 2 − 7t  x = −2 − 7t  x = 2 − 7t  x = −2 − 7t     A.  y = −2 + t . B.  y = 2 + 3t . C.  y = −2 − t . D.  y = 2 − t .  z = 3 + 11t  z = −3 + 11t  z = 3 + 8t  z = 3 + 8t      : 3 a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng 3 x +1 0 A. 1 . B. 2 . C. 7 . D. 9 . Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết a 3 khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng . Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a . 2 Câu 32. Cho  4+2 x dx = HOÀNG XUÂN NHÀN 591 a3 3 3a 3 3 a3 3 B. . C. a3 3 . D. . 4 3 4 Câu 34. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên khi nào?  a = b = 0, c  0  a = b = 0, c  0 A.  . B.  . 2 2  a  0 ; b − 3ac  0  a  0 ; b − 3ac  0  a = b = 0, c  0 a = b = c = 0 C.  . D.  a  0 ; b 2 − 3ac  0 . 2  a  0 ; b − 3ac  0  x − 3 y z +1 = = Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : và điểm M ( 2; −1;5 ) . Phương trình 2 −3 1 mặt phẳng ( P ) qua M và vuông góc với  là A. A. 2x − 3 y + z −12 = 0 . B. 2 x − 3 y + z + 12 = 0 . C. 2 x − y + 5z −12 = 0 . D. 2 x − y + 5z + 12 = 0 . Câu 36. Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z ; iz và z + i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức z bằng A. 2 3 . B. 3 2 . C. 6 . D. 9 . Câu 37. Số nghiệm của phương trình log x2 − x + 2 ( x + 3) = log x +5 ( x + 3) là: A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 . Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z − 6 = 0 và ( Q ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) bằng A. 1 . B. 3 . C. 9 . D. 6 . Câu 39. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =  , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x   ) là một tam giác đều cạnh 2 sin x . A. V = 3 . B. V = 3 . kính R lần lượt là: A. I ( −2; −1) ; R = 4 . B. I ( −2; −1) ; R = 2 . C. V = 2 3 . D. V = 2 3 . z −1 z − 3i = 1 và = 1 . Tính P = a + b . Câu 40. Cho số phức z = a + bi , ( a, b  ) thỏa mãn z −i z +i A. P = 7 . B. P = −1. C. P = 1 . D. P = 2 . Câu 41. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 1cm, AB = 2cm, M là trung điểm của AB. Quay tam giác BMC quanh trục AB , gọi V là thể tích khối tròn xoay thu được, khi đó V bằng: 3 3   cm . A. B. cm3 . C.  cm3 . D. cm3 . 4 3 2 Câu 42. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z + 2 − i = 4 là đường tròn có tâm I và bán C. I ( 2; −1) ; R = 4 . D. I ( 2; −1) ; I ( 2; −1) . HOÀNG XUÂN NHÀN 592 Câu 43. Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m . Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? 5 13 A. m. 3 B. 4 2m . C. 6m . D. 3 5m . Câu 44. Tập các giá trị của m để phương trình 4. biệt là: A. ( −; −1)  ( 7; + ) . ( B. ( 7; 8 ) . ) ( x 5+2 + B. m   −5; 4  . x C. ( −; 3 ) . Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = tiệm cận. A. m   −5; 4 \ −4 . ) 5 − 2 − m + 3 = 0 có đúng hai nghiệm âm phân D. ( 7; 9 ) . x −1 2x2 − 2x − m − x −1 C. m  ( −5; 4 ) \ −4 . có đúng bốn đường D. m  ( −5; 4 \ −4 . Câu 46. Cho tập hợp A = 1; 2;3;...;10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A . Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 90 24 10 15 Câu 47. Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 2 5, CD = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng. 3 15 240 A. . B. 2. C. . D. 3. 4 79 Câu 48. Cho hai hàm số y = x3 + x2 − 3x −1, y = 2x3 + 2x2 − mx + 2 có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) và m là tham số thực. Biết rằng tồn tại m để ( C1 ) cắt ( C2 ) tại ba điểm phân biệt có tung độ là y1 , y2 , y3 thỏa mãn 1 1 1 2 + + = , khi đó: y1 + 4 y2 + 4 y3 + 4 3 A. m  ( 4;7 ) . B. m  ( 9;12 ) . C. m  ( 6;9 ) . D. m  ( 8;11) . Câu 49. Cho x , y  0 thỏa mãn log ( x + 2 y ) = log ( x ) + log ( y ) . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 4 y2 là: P= + 1+ 2 y 1+ x 32 31 29 . C. . D. . 5 5 5 Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn 5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i . Tìm giá trị lớn nhất T của z − 2 + 3i ? 10 A. T = . B. T = 1 + 13 . C. T = 4 5 . D. T = 9 . 3 ________________HẾT________________ A. 6 . B. HOÀNG XUÂN NHÀN 593 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 56 1 C 11 C 21 A 31 A 41 B 2 B 12 B 22 C 32 A 42 A 3 A 13 C 23 B 33 A 43 B 4 C 14 B 24 D 34 A 44 B 5 B 15 B 25 D 35 A 45 D 6 B 16 D 26 A 36 C 46 D 7 B 17 A 27 A 37 A 47 C 8 D 18 B 28 D 38 B 48 D 9 C 19 D 29 B 39 D 49 B 10 D 20 C 30 A 40 D 50 C Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 56 Câu 43. Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m . Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? A. 5 13 m. 3 B. 4 2m . C. 6m . D. 3 5m . Hướng dẫn giải: Xét hệ điểm A, B, C, D, E như hình vẽ. Gọi BC = x ( x  0 ) . Ta cần tìm x để độ dài CD đạt giá trị nhỏ nhất. Dễ thấy hai tam giác CAB, CDE đồng dạng, suy ra: BC x AC x+2 x+2 = =  CD = AC. = x 2 + 4. . CE x + 2 CD x x x+2 Đặt f ( x ) = x 2 + 4. với x  0 . x ☺ Cách giải 1: HOÀNG XUÂN NHÀN 594 x+2 −2 x+2 2 x2 + 4 x+2 2 x2 + 4 + x 2 + 4. 2 = − = 0  = x x2 x2 x2 + 4 x x2 + 4 x2 + 4  x 2 ( x + 2 ) = 2 ( x 2 + 4 )  x3 = 8  x = 2 . Bảng biến thiên của f ( x ) : f ( x) = x . Choïn Vậy chiều dài tối thiểu của thang bằng 4 2 . ⎯⎯⎯ →B ☺ Cách giải 2:   x2 + 4  x + 2   x2 = 4 4 x .2 2 x  x = 2. = 4 2 . Dấu đẳng thức xảy tra   Ta có: f ( x ) = AM −GM  AM −GM   x x x = 2 Câu 44. Tập các giá trị của m để phương trình 4. biệt là: A. ( −; −1)  ( 7; + ) . ( B. ( 7; 8 ) . ) ( x 5+2 + ) x 5 − 2 − m + 3 = 0 có đúng hai nghiệm âm phân C. ( −; 3 ) . D. ( 7; 9 ) . Hướng dẫn giải: ( ) 1 t . Phương trình đã cho trở thành: 4t + + 3 = m t Nhận xét: Với mỗi t  ( 0; 1) thì ta tìm được đúng một nghiệm x  0 . Đặt t = 5+2 x  0  x = log 5 +2 (*) . Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt t1,2  ( 0; 1) .  1 t = 2  ( 0; 1) 1 1 4t − 1  t  0; 1 f t = 4 t + + 3 Xét hàm số ( ) với . ( ) ; f (t ) = 4 − 2 = 2 = 0   t t t t = − 1  ( 0; 1)  2 Bảng biến thiên: 2 Choïn →B Dựa vào bảng biến thiên ta có: 7  m  8 . ⎯⎯⎯ Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = tiệm cận. A. m   −5; 4 \ −4 . B. m   −5; 4  . x −1 2x − 2x − m − x −1 2 C. m  ( −5; 4 ) \ −4 . có đúng bốn đường D. m  ( −5; 4 \ −4 . HOÀNG XUÂN NHÀN 595 Hướng dẫn giải:  1 x 1 −  1  x = = 1+ 2 ; Ta có: lim y = lim x →+ x →+  2 −1 2 m 1 x  2 − − 2 −1 −  x x x   1 x 1 −  1  x lim y = lim = = 1 − 2 . Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm x →− x →−  2 m 1  − 2 −1 x  − 2 − − 2 −1−  x x x  cận ngang là y = 1 + 2 và y = 1 − 2 . Vì vậy ta cần tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận đứng. 2x2 − 2x − m − x − 1 = 0  2x2 − 2x − m = x + 1  x  −1  x  −1   2   x 2 − 4 x − 1 = m (*) . 2 2 x − 2 x − m = x + 2 x + 1  g ( x )  Khi tìm tiệm cận đứng, ta xét: Yêu cầu bài toán  ( *) có hai nghiệm phân biệt x1,2  −1 và khác 1 (không trùng nghiệm của tử số). Xét hàm số g ( x ) = x 2 − 4 x − 1 với x  −1 và x  1 . Ta có: g  ( x ) = 2 x − 4 = 0  x = 2 . Bảng biến thiên: Choïn Dựa vào bảng biến thiên, ta có m  ( −5; 4 \ −4 . ⎯⎯⎯ → D Câu 46. Cho tập hợp A = 1; 2;3;...;10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A . Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 90 24 10 15 Hướng dẫn giải: n  = Số phần tử không gian mẫu là ( ) C103 = 120 . Gọi B là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.  B là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”. Tìm các kết quả thuận lợi cho B : Xét bộ ba số có dạng (1; 2; a1 ) , với a1  A \ 1; 2 : có 8 bộ thỏa mãn. Xét bộ ba số có dạng ( 2;3; a2 ) , với a2  A \ 1; 2;3 : có 7 bộ thỏa mãn. Xét bộ ba số có dạng ( 3, 4, a3 ) với a3  A \ 2;3; 4 : có 7 bộ thỏa mãn. Thực hiện tương tự mỗi bộ ba số dạng: ( 4,5, a4 ) , ( 5, 6, a5 ) , ( 6 , 7 , a6 ) , ( 7 ,8, a7 ) , ( 8, 9 , a8 ) , ( 9,10, a9 ) : đều có 7 bộ thỏa mãn. HOÀNG XUÂN NHÀN 596 ( ) ( ) 64 7 Choïn = . ⎯⎯⎯ →D 120 15 Câu 47. Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 2 5, CD = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng. 240 3 15 A. . B. 2. C. . D. 3. 4 79 Hướng dẫn giải: Ta có: AD2 + AC 2 = CD2 nên tam giác ACD vuông D tại A hay AD ⊥ AC . Mặt khác: AD 2 + AB 2 = BD 2 nên tam giác ABD vuông tại A hay AD ⊥ AB . 5  AD ⊥ AC  AD ⊥ ( ABC ) . Ta có:  2 5 4  AD ⊥ AB Suy ra: n B = 8 + 8.7 = 64 . Do vậy: P ( B ) = 1 − P B = 1 − G A F Dựng hình bình hành ACBE .Khi đó AC //(BDE) . Suy ra khoảng cách cần tìm: d ( AC , BD ) = d ( AC , (BDE ) ) = d ( A, (BDE ) ) (1) . 4 2 E C 3 B Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ AF ⊥ BE tại F , trong tam giác ADF , dựng đường cao AG. Ta sẽ chứng minh AG ⊥ ( BDE).  BE ⊥ AF  BE ⊥ ( ADF ) mà AG  ( ADF )  AG ⊥ BE. Thật vậy:   BE ⊥ AD  AG ⊥ BE  AG ⊥ ( BDE ) (2). Từ (1) & (2)  d ( AC , BD ) = AG . Vì   AG ⊥ DF Đặt: p = AB + BE + AE 9 =  SABE = 2 2 Ta lại có: SABE = p( p − AB)( p − BE )( p − AE ) = 3 15 . 4 1 15 AF . BE  AF = . 2 2 =3 Xét tam giác ADF vuông tại A có đường cao AG = AD. AF AD 2 + AF 2 = 240 Choïn . ⎯⎯⎯ →C 79 Câu 48. Cho hai hàm số y = x3 + x2 − 3x −1, y = 2x3 + 2x2 − mx + 2 có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) và m là tham số thực. Biết rằng tồn tại m để ( C1 ) cắt ( C2 ) tại ba điểm phân biệt có tung độ là y1 , y2 , y3 thỏa mãn 1 1 1 2 + + = , khi đó: y1 + 4 y2 + 4 y3 + 4 3 A. m  ( 4;7 ) . B. m  ( 9;12 ) . C. m  ( 6;9 ) . D. m  ( 8;11) . Hướng dẫn giải:  Cần nhớ: Định lí Vi-ét dành cho phương trình bậc ba. HOÀNG XUÂN NHÀN 597 b   x1 + x2 + x3 = − a  c  3 2 Nếu phương trình ax + bx + cx + d = 0 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì  x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = . a  d   x1 x2 x3 = − a  Phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) , ( C2 ) : x3 + x2 + ( 3 − m) x + 3 = 0 (*). Giả sử A, B , C là giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho thì tọa độ A, B , C thỏa hệ  y = x3 + x 2 − 3x − 1 2 y = 2 x 3 + 2 x 2 − 6 x − 2   . Suy ra y = ( m − 6 ) x − 4 .    3 2 3 2  y = 2 x + 2 x − mx + 2  y = 2 x + 2 x − mx + 2   Khi đó, ta có: y1 + 4 = ( m − 6 ) x1 ; y2 + 4 = ( m − 6 ) x2 ; y3 + 4 = ( m − 6 ) x3 với x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình (*).  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 3 − m Theo định lí Vi-ét bậc ba, ta có  .  x1 x2 x3 = −3 2 1 1 1 1 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 m−3 + + = . = Theo giả thiết: = . Suy ra m = 9 . 3 y1 + 4 y2 + 4 y3 + 4 m − 6 x1 x2 x3 3( m − 6) Thử lại: với m = 9 thì (*) trở thành x3 + x2 − 6 x + 3 = 0 . Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt. Choïn Vậy m = 9 là giá trị cần tìm. ⎯⎯⎯ → D Câu 49. Cho x , y  0 thỏa mãn log ( x + 2 y ) = log ( x ) + log ( y ) . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x2 4 y2 là: + 1+ 2 y 1+ x A. 6 . B. 32 . 5 C. 31 . 5 D. 29 . 5 Hướng dẫn giải:  Cần nhớ: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (còn gọi là bất đẳng thức công mẫu): 2 x y x2 y 2 ( x + y ) +  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . a b a+b a b Điều kiện: x  0, y  0 . Ta có: log ( x + 2 y ) = log ( x ) + log ( y )  log ( x + 2 y ) = log ( x. y )  x + 2 y = xy (*) . (2y)  ( x + 2y) x2 + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel , ta có: P = . 1+ 2 y 1+ x 2 + x + 2 y 2 (1) 2 Theo AM-GM, ta có: x + 2 y  2 x.2 y = 2 2 ( x + 2 y )  ( x + 2 y )  8 ( x + 2 y ) x x 2y 2y 0 (loaïi) (do điều kiện x  0, y  0 ). Suy ra x 8 (nhaän) 2 2y 8 . HOÀNG XUÂN NHÀN 598 t2 4 = t −2+ t+2 t+2 32 1 4 24 52 4 24 52 32 . Do vậy Pmin = .  P  (t + 2) + + t− 2 + .8 − = 5 25 t + 2 25 25 25 25 25 5 Đặt t = x + 2 y  8 , ta có: P  AM −GM  24 .8 25 2y  x 2y 8 − 2 y 1 + 2 y = 1 + x = x = 4    1 + 2 y 1 + 8 − 2 y   . Dấu đẳng thức xảy ra   y = 2  x + 2 y = 8; 1 ( t + 2 ) = 4 x = 8 − 2 y 25 t+2   t Choïn ⎯⎯⎯ →B Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn 5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i . Tìm giá trị lớn nhất T của z − 2 + 3i ? A. T = 10 . 3 B. T = 1 + 13 . C. T = 4 5 . D. T = 9 . Hướng dẫn giải: Gọi M là điểm biểu diễn của z; gọi A ( 0;1) , B ( −1;3) , C (1; −1) . Ta thấy A là trung điểm của BC . Ta có : MB 2 + MC 2 = 2MA2 + BC 2 = 2MA2 + 10 . 2 Theo giả thiết : 5 z − i = z + 1 − 3i + 3 z − 1 + i  5MA = MB + 3MC Cauchy − Schwarz  10. MB 2 + MC 2 = 2 MA2 +10  25MA2  10 ( 2MA2 + 10 )  5MA2  100  MA  2 5 (1). Xét z − 2 + 3i = ( z − i ) + ( −2 + 4i )  z − i + 2 − 4i  MA + 2 5  4 5 (do (1)).  z −i = 2 5 z  Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi:  a b − 1 , với z = a + bi ; a, b . Suy ra z 0  =  −2 4 Choïn →C Vậy giá trị lớn nhất của z − 2 + 3i là T = 4 5 . ⎯⎯⎯ 2 3i (loaïi) . 2 5i HOÀNG XUÂN NHÀN 599