Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Hướng dẫn:
Gọi O là trung điểm của SC
Xét các vuông tại A ∆SAC; ∆SAD; ∆SAB có:
Ta có:
⇒ ∆SBC; ∆SCD vuông tại C
Hình chóp S.ABCD có:
Thể tích khối cầu là:
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Hướng dẫn:
Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:
AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2
DB2 = DA2 + AB2 = 25a2 + 9a2 = 34a2
DC2 = DA2 + AC2 = 25a2 + 25a2 = 50a2
Xét ∆DBC có:
DB2 + BC2 = 34a2 + 16a2 = 50a2 = DC2
⇒ ∆DBC vuông tại B
Gọi O là trung điểm của CD
∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến
⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1)
∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến
⇒ OB = OC = OD = CD/2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30º. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm đáy ABCD
Hình chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)
OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD)
⇒ Góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc ∠(SAO)=30º
Gọi M là trung điểm của SA. Trung trực của SA cắt SO tại I
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm
Ta có: ∆SMI ~ ∆SOA (g.g)
Xét ∆SOA vuông tại O, ∠(SAO) = 30º có:
Thể tích mặt cầu là:
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng 2√3, cạnh bên bằng √5. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức giải nhanh:
Công thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Thể tích khối cầu ngoại tiếp:
Chứng minh:
Gọi O, O’ là tâm của ∆ABC và ∆A' B' C' là OO’ là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và ∆A' B' C'.
Gọi I là trung điểm của OO’ thì IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ. Bán kính mặt cầu là R = IA.
∆AOI vuông có:
Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ:
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2√3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức giải nhanh:
Trong đó, a = 2; b=2√3 ta được:
Công thức tính nhanh: Cho hính chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Thể tích khối cầu ngoại tiếp:
Chứng minh:
Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đều cạnh a.
Mặt phẳng trung trực của SA cắt SA tại I và cắt SO tại K
Khi đó SK = KB = KC hay K là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Tam giác SOA vuông tại O
Được cập nhật: 20 tháng 4 lúc 1:45:43 | Lượt xem: 582
