Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Chủ đề 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 13 tháng 3 2020 lúc 10:05:39


Phương pháp giải

+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1;F2, với F1F2 = 2c (c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F1;F2, được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.

+ Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F1 (c;0);F2 (-c;0) :

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn |z - 4| + |z + 4| = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số phức z là

A.10 và 4        B. 5 và 4        C. 4 và 3        D. 5 và 3.

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận

Cách 1: Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x ;y) . Giả sử F1 (4;0); F2 (0;-4) khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là MF1 + MF2 = 10 là đường elip có các tiêu điểm là F1;F2, và trục lớn bằng 10.

Từ đó ta tìm được 2c = F1F2 = 8 <=> c = 4 .

2a = 10 nên a = 5

suy ra b2 = a2 - c2 = 25 - 16 - 9 => b = 3 .

Từ đó 

Vì M di động trên (E) nên z = |OM| lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay max |z| = 5 ; min|z| = 3 .

Chọn D.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng |A| + |B| ≥ |A+B| suy ra

10 = |z - 4| + |z + 4| ≥ |(z - 4) + (z + 4)| = |2z| = 2|z| > |z| ≤ 5. Vậy |z| = 5 .

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để 

 số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Hướng dẫn:

Giả sử z = a + bi, khi đó 

, giả thiết của bài toán là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a; b) thuộc miền trong của elip 

 (kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Chọn A.

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z2 là số thuần ảo là hai đường thẳng d1;d2 . Góc giữa 2 đường thẳng d1;d2 là bao nhiêu?

A.α = 45o . B.α = 60o . C.α = 90o . D.α = 30o .

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z2 = (x2 - y2) + 2xyi là số thuần ảo =>

x2 - y2 = 0 ∧ xy ≠ 0 => y = ± x => α = 90o

Chọn C.

Ví dụ 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z - 2| = 5 trên mặt phẳng tọa độ là một

A. đường thẳng.        B. đường tròn.        C. elip.        D. hypebol.

Hướng dẫn:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi.

Đặt F1 (-2;0);F2 (2;0) khi đó (1) <=> MF1 + MF2 = 5 ;

suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là F1;F2 và bán kính trục lớn là 

Phương trình của elip đó là 

Chọn C.

Ví dụ 5: Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức |z - 2| + |z + 2| = 10 thỏa mãn điều kiện .

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi,x;y ∈ R .

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức -2

Ta có:|z - 2| + |z + 2| = 10 <=> MA + MB = 10 .

Ta có AB = 4.

Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A(2; 0), B( -2; 0) tiêu cự AB = 4 = 2c, độ dài trục lớn là 10 = 2a , độ dài trục bé là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2| + |z + 2| = 10 là elip có phương trình 

Chọn D

Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là?

Hướng dẫn:

Gọi M(x,y), F1(-2;0) , F2(-2;0)

Ta có : 

Do đó điểm M(x; y) nằm trên elip (E ) có 2a = 8 nên a=4

Ta có F1F2 = 2c <=> 4 = 2c <=> c = 2 .

Ta có b2 = a2 - c2 = 16 - 4 = 12

Vậy tập hợp các điểm M là elip 

Chọn A.

Ví dụ 7:Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức 

 thoả mãn điều kiện: là hình gì?

A. Một đường thẳng.        B. Một đường Parabol.

C. Một đường Elip.        D. Một đường tròn.

Hướng dẫn:

Theo giả thiết 

<=> a2 + (b - 1)2 = (b + 1)2

<=> a2 = 4b

Quỹ tích các số phức z là một đường Parabol.

Chọn B.

Ví dụ 8:Cho số phức z = m - 2 + (m2 - 1)i với m ∈ R . Gọi (C) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox.

Hướng dẫn:

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.

Chọn B.

Ví dụ 9: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 

 . Tập hợp tất cả những điểm M như vậy là

A. một parabol.        B. một đường thẳng.        C. một đường tròn.        D. một elip.

Hướng dẫn:

Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ:

Theo đề bài ta có:

Vậy tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là parabol 

 .

Chọn A.

Ví dụ 10: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 

A. Là đường Hyperbol.

B. Là đường Hyperbol.

C. Là đường tròn tâm 0 bán kính R = 4.

D. Là hai đường Hyperbol 

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: 

Chọn D


Được cập nhật: 3 giờ trước (13:21:39) | Lượt xem: 7612