Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0
Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.
- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:
+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a
+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Bước 3. Kết luận.
Lưu ý:
- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm
- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất
Ví dụ minh họa
Bài 1: Phương trình (m–1)x2 + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:
Hướng dẫn:
Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3
Do đó m = 1 thỏa mãn.
Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5
Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0
Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm
Bài 2: Phương trình (x2 - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:
Hướng dẫn:
Phương trình (x2 - 3x + m)(x - 1) = 0 ⇔
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình mx2 - mx + 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn:
Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0: vô nghiệm.
Khi m ≠ 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Δ = m2 - 4m ≥ 0
Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được
Vì ∈ Z, m ∈ [-10;10] m ∈ {-10; -9; -8;...; -1} ∪ {4; 5; 6;...; 10}
Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x2 - 2x + 3 và y = x2 - m có điểm chung
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm -x2 - 2x + 3 = x2 - m
⇔ 2x2 + 2x - m - 3 = 0. (*)
Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
⇔ Δ' = 1 - 2(-m-3) ≥ 0 ⇔ m ≥ -7/2
Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m–1)x2 + 2mx + 3m – 1
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm (m-1)x2 + 2mx + 3m - 1 = 2x + m
⇔ (m-1)x2 + 2(m-1)x + 2m - 1 = 0 (*)
Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép
Được cập nhật: hôm qua lúc 15:05:49 | Lượt xem: 733
