1. Phương pháp giải.
C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 < x2, đặt T = f(x1 )-f(x2 )
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; + ∞)
a) y = 3/(x-1)
b) y = x + 1/x
Hướng dẫn:
a) Với mọi x1; x2 ∈ (1; + ∞); x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1 nên
Do đó hàm số y = 3/(x-1) nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).
b) Với mọi x1; x2 ∈ (1; + ∞); x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1
nên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng (1; + ∞).
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x2 - 4
a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (- ∞;0) và trên (0;+ ∞)
b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R.
a) ∀ x1; x2 ∈ R; x1 < x2 ⇒ x2 - x1 > 0
Ta có T = f(x2 ) - f(x1 )=(x22 - 4) - (x12 - 4) = (x2 - x1 )(x2 + x1 )
Nếu x1; x2 ∈ (- ∞;0) thì T < 0. Vậy hàm số y=f(x) nghịch biến trên (- ∞;0).
Nếu x1; x2 ∈ (0; + ∞) thì T > 0. Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + ∞).
b) Bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x2 - 4 trên [-1; 3]
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.
Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số
trên tập xác định của nó.
Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞)
Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞), x1 ≠ x2, ta có:
Nên hàm số
đồng biến trên khoảng [1; + ∞).
a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞) nên
Nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) hay
Suy ra phương trình
không có nghiệm x > 1.
Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b)
ĐKXĐ: x ≥ 1
Đặt x2 + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x2 = t - 1
Do x ≥ 1 nên x = √(t-1). Khi đó phương trình trở thành:
⇔ f(x)=f(t)
Nếu x > t ⇒ f(x) > f(t) hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.
Nếu x < t ⇒ f(x)< f(t) hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.
Vậy f(x) = f(t) ⇔ x = t hay x2 + 1 = x ⇔ x2 - x + 1 = 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét:
Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm.
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) > f(y) ⇔ x > y (x < y) và f(x) = f(y) ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.
Được cập nhật: 21 tháng 3 lúc 10:02:39 | Lượt xem: 657