Chủ đề 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫e^x sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫e^x sinx dx

F(x) = e^x sinx-∫e^x cosx dx = e^x sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫e^x cosx dx

G(x) = e^x cosx+∫e^x sinx dx+C'=e^x cosx+F(x)+C' (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = e^x sinx-e^x cosx - F(x) - C'

Ghi nhớ: Gặp ∫e^mx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫e^mx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2^x dx

b)

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx = (x²-1) e^x-(2x.e^x - ∫2.e^x dx)

= (x²-1) e^x - 2x.e^x + 2.e^x+C = (x-1)² e^x + C.

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫2xln(x-1)dx

b)

Hướng dẫn:

a) Xét ∫2xln(x-1)dx

b)

Được cập nhật: hôm kia lúc 21:48:24 | Lượt xem: 2051