- Về phương trình
Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)
- Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có:
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
- Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
- Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác xo khi và chỉ khi
- Các công thức cần nhớ
Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x1 , y1) và B(x2 , y2) tùy ý ta có:
AB=√((x2 -x1 )2 +(y2 - y1)2 )
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(xo , yo) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức
d(M,Δ)= |Axo + Byo + C|/√(A2 + B2 )
Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có:
S = (1/2)aha = (1/2)bhb = (1/2)chc = abc/4R = pr
Trong đó:
a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.
ha, hb, hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c.
R,r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác.
Phương trình đường thẳng Δ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y = k(x - a) + b
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - (3m + 2)x2 + 3m (m là tham số) có đồ thị (Cm). Tìm m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d
x4 - (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 - (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔
Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0}
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng d: y = 2x - 1. Xác định giá trị của tham số m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=√10
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1)
Điều kiện x ≠ -2
Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2)
⇔ 2x2 - (m - 3)x - 1 = 0 (2)
(d) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2
Đặt A(x1 ; 2x1 - 1); B(x2 ; 2x2 - 1) với x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (2)
Theo định lí Vi ét ta có
Khi đó AB = √((x1 - x2)2 + 4(x1 - x2)2 ) = √10 ⇔ 5[(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 ] = 10
⇔ ((m - 3)/2)2 + 2 = 2
⇔ m = 3 (thỏa mãn)
Vậy giá trị cần tìm là m = 3
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + (1 - m)x + m có đồ thị (Cm). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x12 +x22 +x32 =4.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
x3 - 2x2 +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - m) = 0
(Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
Gọi x1 = 1 còn x2 ,x3 là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có
Vậy x12 + x22 + x32 = 4 ⇔ 1+(x2 +x3)2 -2x2 x3=4
⇔ 1 + 12 + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1
Được cập nhật: 4 tháng 4 lúc 10:42:51 | Lượt xem: 1020
