Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x). Nếu f ’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) và được kí hiệu là: f ''(x), tức là:
f ’’(x) = (f’(x))’
Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – 1 (với n ∈ N, n ≥ 2)) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1)(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x) và được kí hiệu là f(n)(x), tức là:
f(n)(x) = (f(n-1)(x))'
Để tính đạo hàm cấp n:
+ Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n
+ Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng
Ví dụ minh họa
Bài 1: Hàm số
.Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên.
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 2: Hàm số y = (x) = cos(2x - π/3) . Phương trình f(4)(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0; π/2] là:
Hướng dẫn:
Bài 3: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)3 + 4(x+1)
Tìm tập nghiệm của phương trình f ''(x) = 0 ?
Hướng dẫn:
Vì: f '(x) = 15(x+1)2 + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1
Bài 4: Cho hàm số y = sin22x. Tính y(4)(π/6) ?
Hướng dẫn:
Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x;
y(4) = -128cos4x ⇒ y(4)(π/6) = 64√3
Bài 5: Cho hàm số y = sin2x. Tính y’’
Hướng dẫn:
Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x
Bài 6: Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''(π/3), y(4)(π/4) ?
Hướng dẫn:
Ta có y ''' = -8cos2x, y(4) = 16sin2x
Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y(4)(π/4) = 16sin(π/2) = 16
Bài 7: Cho hàm số y = sin2x. Tính y(n)?
Hướng dẫn:
Ta có
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Được cập nhật: 21 tháng 3 lúc 18:49:42 | Lượt xem: 1038