- Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).
Xét Δ = b2 - 4ac, ta có
+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x =
.
+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:
+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
+ Chú ý.
Mọi phương trình bậc n:
luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (thực hoặc phức).
- Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:
Với đa thức f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + .... + a1x + ao chia cho x - a có thương là
g(x) = bnxn + bn - 2xn - 2 + .... + b1x + bo dư r
Ví dụ minh họa
– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b2 - 4ac = -3 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án B
Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z3 - 8 = 0 là :
Hướng dẫn:
Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4:Trong C , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :
Δ = b2 - 4ac = (3i)2 - 4.1.4 = -25 <0
Phương trình có hai nghiệm phức là:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 5:Cho z = 1 - i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z2 + i)(z2- 2iz - 1) = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 7:Trong C , phương trình
có nghiệm là:
(1 ± √3)i B. (5 ± √2)i C. (1 ± √2)i D.(2 ± √(5)i)
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Được cập nhật: 16 tháng 4 lúc 7:06:24 | Lượt xem: 1786
