A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 + (1/2)mx2 + m - 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm m.
Hướng dẫn giải:
- Ta có y' = 4x3 + mx
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 - m
- Hệ số góc của đường thẳng x - 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3
- Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 nên (-4 - m).(1/3) = -1 ⇔ -4 - m = 3 ⇔ m = -1
Ví dụ 2: Cho y = (3 - 2x)/(x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua hai điểm A(-7;6) và B(-3;10).
Hướng dẫn giải:
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo (xo ≠ -1) là:
Δ: y = y' (xo )(x - xo ) + y(xo ) ⇒ Δ:y = - 5/(xo + 1)2 (x - xo ) + (3 - 2xo )/(xo + 1)
⇒ Δ: 5x + (xo + 1)2 y + 2xo2 - 6xo - 3 = 0
Vì Δ cách đều các điểm A và B nênc
d(A; Δ) = d(B; Δ)
Vậy các tiếp tuyến cách đều A và B là y = (-5/4)x + 7/4 và y = -5x - 17
Ví dụ 3: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x3 + 3x2 + mx = 0
⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔
Để (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0
Gọi x1, x2là hai nghiệmcủa phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có dạng D(x1; 1); E(x2; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét
Ta có y' = 3x2 + 6x + m
Vì các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có:
y'(x1 ).y'(x2)=-1⇔ (3x12 + 6x1 + m)(3x22 + 6x2 + m) = -1
⇔ 9(x1 x2)2 + 18x1x2(x1 + x2) + 3m[(x1 + x2)2 - 2x1x2] + 36x1x2 + 6m(x1 + x2) + m2 = -1
⇔ 9m2 -54m + 3m(9 - 2m) + 36m - 18m + m2 = -1
⇔ 4m2 -9m + 1 = 0 ⇔
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = (9 + √65)/8 và m = (9 - √65)/8
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số y = 4x2 + 3mx + 6 (C). Tìm m để (C) có tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -2).
Bài 2: Cho hàm số y = 3x3 + 3mx2 + (2m + 1)x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm A(2; 2).
Bài 3: Cho y = (1/3)x3 - mx2 - x + m - 1 (C). Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là -10. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 4: Cho y = (1/3)x3 - m/2 x2 + (1/3)(Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến tại M của (Cm) song song với đường thẳng d: 5x - y = 0.
Bài 5: Cho y = mx4 + (3m + 1/24)x2 + 2 (Cm). Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng -1 và 2 của (Cm). Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại A và B vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho y = (1 - x)/(2x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cách I(-1/2; -1/2) một khoảng bằng 3/√10.
Bài 7: Tìm m để (Cm):y = x3 /3 - 1/2(m + 2)x2 + 2mx + 1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1
Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 - 6x2 + 9x - 2 tại điểm M, biết M cùng hai điểm cực trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6.
Được cập nhật: hôm kia lúc 4:01:22 | Lượt xem: 462