Phương pháp giải
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:
(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
Ví dụ minh họa
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5.
Hướng dẫn:
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:
(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5 là:
(S): (x-2)2+(y-3)2+(z+1)2=25.
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A (4; -3; 7), B(2; 1; 3)
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm của AB
Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu.
⇒ I(3; -1;5)
Bán kính mặt cầu là:
R=IA
= 3
Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:
(x-3)2+(y+1)2+(z-5)2=9
Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB/2
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và đi qua A(-2; 0; -1)
Hướng dẫn:
Vì mặt cầu (S) đi qua A nên (S) có bán kính
R=IA
=√38
Vậy phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và bàn kính R=√38 là:
(x-3)2+(y+2)2+(z-2)2=38
Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu khi biết tâm I (a; b; c) và đi qua một điểm A cho trước thì ta tìm bán kính R = IA. Khi đó, phương trình mặt cầu (S) có dạng:
(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
Bài 4: Cho đường thẳng
và điểm A (5; 4; -2). Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy)
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (Oxy): z = 0
Gọi I là giao điểm của d và mặt phẳng Oxy
Do I∈d nên I (t; 1 + 2t; -1-t)
I thuộc mặt phẳng (Oxy) nên -1-t=0 ⇔ t=-1
⇒ I(-1; -1;0)
IA
= √65
Phương trình mặt cầu đi qua A và có tâm I (-1; -1; 0) là
(x+1)2+(y+1)2+ z2=65
Được cập nhật: 5 giờ trước (11:52:40) | Lượt xem: 721