Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Chủ đề 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 13 tháng 3 2020 lúc 11:18:08


+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5

b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0

c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

Hướng dẫn:

a) Phương trình (x-2)2+(y+3)2+z2=5 có dạng

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm

I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.

b) Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng

x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1

⇒ a2+b2+c2-d=13>0

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.

c) Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0

Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với

a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0

Hướng dẫn:

a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có

a=m;b=-(m+1); c=2;d=1.

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.

b) Phương trình x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3;

b=0;c=2m;d=8

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0

⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có:

a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.

Khi đó, bán kính mặt cầu là:

Dấu bằng xảy ra khi m = 1.

Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.


Được cập nhật: 16 giờ trước (5:16:32) | Lượt xem: 602

Các bài học liên quan