1. PHƯƠNG PHÁP
|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c
Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.
Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:
Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|
Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8
Cách tìm số phức:
+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:
+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn:
Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i
Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ
Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:
A. √2 B. 2 C. 1 D. 3
Hướng dẫn:
Ta có:
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.
A. 2 B. √2 C. 2√2 D. √2
Hướng dẫn:
Ta có:
1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2
Chọn đáp án là D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Hướng dẫn:
Ta có:
|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|
⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2
⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?
A. z = -2 + 2i B. z = 2 - 2i
C. z = 2 + 2i D. z = -2 - 2i
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi (x, y ∈ R).
Ta có: |x - 2 - 4(y - 4)i| = |x + (y - 2)x| ⇔ y = -x + 4
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0
Mặt khác:
Chọn đáp án C.
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|
A. √2 B. 1 C. 2 D. √5 - 1
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1.
Do đó min |z| = OI − r = √5 − 1.
Chọn đáp án là D.
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2√5 B. 3√2 C. √6 D. 5√2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi khi đó z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i
Ta có:
Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:
Dễ thấy O ∈ (C), N(-1; -1) ∈ (C)
Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (c) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
W = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i
Suy ra |z + 1 + i| đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất
Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (c)
⇔ I là trung điểm MN => M(3; -3) => z = 3 - 3i
Cách 2: (giải thuần đại số)
Đặt z = x + yi(x, y ∈ R) thì |z - 1 + 2i| = √5 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 (1)
|w|2 = |z + 1 + i|2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 4x - 2y - 3 = 4x - 2y + 2 (do (1))
Dấu “=” của (2) xảy ra
Như vậy do |w| đạt giá trị lớn nhất nên x = -3, y = -3. Từ đó |z| = 3√2.
Chọn B.
Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m
Hướng dẫn:
Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì:
Theo giả thiết: 4MA + 3MB = 2√2. Đặt a = MA
Chọn đáp án là C.
Được cập nhật: 23 giờ trước (7:25:40) | Lượt xem: 6860
