Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10

xHì nh 01 KH ME CBADoc24.vnCÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 Dành tặng cho các em học sinh lớp đang chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 khôngchuyên )Bài Cho hình thang cân ABCD (AB CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn(O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại và chúng cắt nhau E. Gọi là giaođiểm của hai đường chéo AC và BD.1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.2. Chứng minh AB // EM.3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt và K. Chứng minh là trung điểm HK.4. Chứng minh 1HK AB CD= +BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01)1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp.Ta có ·12EAC= sđ »AC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AEvà dây AC của đường tròn (O))Tương tự: ·12xDB= sđ »DB (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)Mà AC BD (do ABCD là hình thang cân) nên »»AC BD= Do đó ··EAC xDB= .Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.2. Chứng minh AB // EM.Tứ giác AEDM nội tiếp nên ··EAD EMD= (cùng chắn cung ED) Mà ··EAD ABD =(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AD) .Suy ra: ··EMD ABD= Do đó EM // AB.3. Chứng minh là trung điểm HK.DABDcó HM // AB HM DHAB DAÞ CABD có MK // AB MK CKAB CBÞ MàDH CKDA CB= (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên HM MKAB AB= Do đó MH MK.Vậy là trung điểm HK.4. Chứng minh 1HK AB CD= .Doc24.vnÁp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DMAB DB= (1) Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD tađược: KM BMCD BD= (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: 1HM KM DM BM DM BM BDAB CD DB BD BD BD++ .Suy ra: 22HM KMAB CD+ mà MH MK nên 2HM 2KM HK Do đó:2HK HKAB CD+ =. Suy ra: 1HK AB CD= (đpcm) Lời bàn 1. Do AC BD ¼¼ADC BCDÞ nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta ửdụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối của đỉnh của đỉnhđó thì tứ giác đó nội tiếp. Với cách suy nghĩ trên chỉ cần vẽ tia Dx là tia đối của tia tiếptuyến DE thì bài toán giải quyết được dễ dàng. Có thể chứng minh tứ giác AEDM nộitiếp bằng cách chứng minh khác được không? (phần này dành cho các em suy nghĩ nhé)2. Câu có còn cách chứng minh nào khác không? Có đấy. Thử chứng minh tamgiác AHM và tam giác BKM bằng nhau từ đó suy ra đpcm .3. Câu là bài toán quen thuộc lớp phải không các em? Do đó khi học toán cácem cần chú các bài tập quen thuộc nhé. Tuy vậy câu này vẫn còn một cách giải nữa đó.Em thử nghĩ xem?Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi là điểmchính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ song song với BM cắt tia AM và cắt tiaOM D. OD cắt AC tại H.1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.2. Chứng minh CD MB và DM CB.3. Xác định vị trí điểm trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửađường tròn.4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phầntam giác ADC ngoài đường tròn (O) theo R.BÀI GIẢI CHI TIẾT1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp./ /=OMH KDCBA/ /=OMHKDCBADoc24.vn·090AMB=(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) AM MBÞ Mà CD// BM (gt) nên AM CD Vậy ·090MKC= .¼¼AM CM=(gt) OM ACÞ ^·090MHCÞ .Tứ giác CKMH có ··0180MKC MHC+ nên nội tiếp được trong một đường tròn.2. Chứng minh CD MB và DM CB.Ta có: ·090ACB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình 2Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành. Suy ra:CD MB và DM CB. 3. Xác định vị trí điểm trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửađường tròn.AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) AD ABÛ ADCD có AK CD và DH ^AC nên là trực tâm tam giác Suy ra: CM AD Vậy AD AB^ CM // AB ¼»AM BCÛ .Mà ¼¼AM MC= nên ¼»¼¼»AM BC AM MC BC= 60 0.4. Tính diện tích phần tam giác ADC ngoài (O) theo R:Gọi là diện tích phần tam giác ADC ngoài đường tròn (O). S1 là diện tích tứ giác AOCD. S2 là diện tích hình quạt góc tâm AOC. Ta có: S1 S2 hình 3* Tính S1 AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) Û¼¼»060AM MC BC= =·060AODÞ =.Do đó: AD AO. tg 60 3R SADO 21 3. 3.2 2RAD AO R= .AOD CODD D(c.g.c) SAOD SCOD SAOCD SADO 2. 232R 23R .* Tính S2 »0120AC= quạt AOC 00.120360Rp 23 Rp.* Tính S: S1 S2 23R 23Rp 23 33R Rp- ()23 33Rp- (đvdt) .Lời bàn :N yxOK FE MBADoc24.vn1. Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi cho ta cách chứng minh các góc và là nhữnggóc vuông, và để có được góc vuông ta chỉ cần chỉ ra MB AM và CD// MB iều đósuy ra từ hệ quả của góc nội tiếp và giả thiết CD // MB. Góc vuông được suy từ kết quả của bài số 14 trang 72 SGK toán tập 2. Các em lưu các bàitập này được vận dụng vào việc giải các bài tập khác nhé.2. Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không các em?3. Rõ ràng đây là câu hỏi khó đối với một số em, kể cả khi hiểu rồi vẫn không biếtgiải như thế nào có nhiều em may mắn hơn vẽ ngẫu nhiên lại rơi đúng vào hình trêntừ đó nghĩ ngay được vị trí điểm trên nửa đường tròn. Khi gặp loại toán này đòi hỏiphải tư duy cao hơn. Thông thường nghĩ nếu có kết quả của bài toán thì sẽ xảy ra điềugì Kết hợp với các giả thiết và các kết quả từ các câu trên ta tìm được lời giải của bàitoán. Với bài tập trên phát hiện là trực tâm của tam giác không phải là khó, tuy nhiêncần kết hợp với bài tập 13 trang 72 sách oán 9T2 và giả thiết là điểm chính giữa cungAC ta tìm được vị trí của ngay.Với cách trình bày dưới mệnh đề “khi và chỉ khi” kết hợp với suy luận cho ta lờigiải chặt chẽ hơn. Em vẫn có thể viết lời giải cách khác bằng cách đưa ra nhận định trướcrồi chứng minh với nhận định đó thì có kết quả tuy nhiên phải trình bày phần đảo: ĐiểmC nằm trên nửa đường tròn mà 060BC thì AD là tiếp tuyến. Chứng minh nhận định đóxong ta lại trình bày phần đảo: AD là tiếp tuyến thì 060BC Từ đó kết luận .4. Phát hiện diện tích phần tam giác ADC ngoài đường tròn (O) chính là hiệu củadiện tích tứ giác AOCD và diện tích hình quạt AOC thì bài toán dễ tính hơn so với cáchtính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC.Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB a. Gọi Ax, By là các tia vuông gócvới AB Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm thuộc nửa đườngtròn (O) (M khác và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ởE và F.1. Chứng minh: ·0EOF 90=2. Chứng minh giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.3. Gọi là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK AB ^. 4. Khi MB .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. BÀI GIẢI CHI TIẾT 1. Chứng minh: ·0EOF 90= .EA, EM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)Doc24.vncắt nhau nên OE là phân giác của ·AOM .Tương tự: OF là phân giác của ·BOM .Mà ·AOM và ·BOM kề bù nên: ·090EOF= (đpcm) hình 42. Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.Ta có: ··090EAO EMO= (tính chất tiếp tuyến)Tứ giác AEMO có ··0180EAO EMO+ nên nội tiếp được trong một đường tròn.· Tam giác AMB và tam giác EOF có:··0EOF 90AMB= ··MAB MEO= (cùng hắncung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO. Vậy Tam giác AMB và tam giácEOF đồng dạng (g.g) .3. Gọi là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK AB ^.Tam giác AEK có AE // FB nên: AK AEKF BF= Mà AE ME và BF MF (t/chất haitiếp tuyến cắt nhau) Nên AK MEKF MF= Do đó MK // AE (định lí đảo của định lí Ta- let) .Lại có: AE AB (gt) nên MK AB.4. Khi MB .MA, tính diện tích tam giác KAB theo Gọi là giao điểm của MK và AB, suy ra MN AB. DFEA có MK//AE nên MK FKAE FA= (1) DBEA có NK//AE nên NK BKAE BE= (2) .Mà FK BKKA KE= (do BF // AE) nên FK BKKA FK BK KE=+ hay FK BKFA BE= (3) .Từ (1), (2) và (3) suy ra MK KNAE AE= Vậy MK NK.Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên: 12AKBAMBS KNS MN= .Do đó12AKB AMBS S= Tam giác AMB vuông nên tg 3MBMA=·060MABÞ Vậy AM 2a và MB 32a Þ1 3. .2 2AKBa aSÞ 21316a (đvdt) .Lời bàn :xHQINMO CBAK xHQINMO CBADoc24.vn( Đây là đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của tỉnh Hà Nam Từ câu đến câu trong quá trình ôn thi vào lớp 10 chắc chắn thầy cô nào cũng ôntập, do đó những em nào ôn thi nghiêm túc chắc chắn giải được ngay, khỏi phải bàn,những em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem như trúng tủ ài toán này có nhiều câu khó,và đây là một câu khó mà người ra đề khai thác từ câu: MK cắt AB N. Chứng minh: Klà trung điểm MN. Nếu chú MK là đường thẳng chứa đường cao của tam giác AMB do câu và tamgiác AKB và AMB có chung đáy AB thì các em sẽ nghĩ ngay đến định lí: Nếu hai tamgiác có chung đáy thì tỉ số diện tích hai tam giác bằng tỉ số hai đường cao tương ứng, bàitoán qui về tính diện tích tam giác AMB không phải là khó phải không các em?Bài Cho nửa đường tròn tâm đường kính AB. Từ điểm trên tiếp tuyến Ax củanửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB,đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại và cắt CH tại N. Gọi giao iểm của MOvà AC là I. Chứng minh rằng:a) Tứ giác AMQI nội tiếp. b) ··AQI ACO= c) CN NH.(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh BắcNinh)BÀI GIẢI CHI TIẾTa) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:Ta có: MA MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau)OA OC (bán kính đường tròn (O))Do đó: MO AC ·090MIAÞ .·090AQB=(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))·090MQAÞ =. Hai đỉnh và cùng nhìn AM dưới Hình 5một góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp đượctrong một đường tròn. b) Chứng minh:··AQI ACO= .Tứ giác AMQI nội tiếp nên ··AQI AMI= Hình (cùng phụ ·MAC (2) AOCDcó OA nên cân ··CAO ACOÞ (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra··AQI ACO=.c) Chứng minh CN NH.//=xFEOD CBADoc24.vnGọi là giao điểm của BC và tia Ax. Ta có: ·090ACB= (góc nội tiếp chắn nửađường tròn(O)) AC BK AC OM OM // BK. Tam giác ABK có: OA OB, OM// BK ÞMA MK. Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho ABMD có NH // AM (cùng ^AB) ta được: NH BNAM BM=(4) Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho BKMD có CN // KM (cùng ^AB) ta được: CN BNKM BM= (5) Từ (4) và (5) suy ra: NH CNAM KM= Mà KM AM nên CN =NH (đpcm) .Lời bàn 1. Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh và cùng nhìnAM dưới một góc vuông. Góc AQM vuông có ngay do kề bù với ACB vuông, góc MIAvuông được suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.2. Câu được suy từ câu 1, dễ dàng thấy ngay ··AQI AMI= ··ACO CAO= vấn đề lạilà cần chỉ ra ·IMA =· CAO điều này không khó phải không các em?3. Do CH // MA mà đề toán yêu cầu chứng minh CN NH ta nghĩ ngay việc kéo dài BC cắt Ax tại bài toán trở về bài toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, Mlà trung điểm BC. Kẻ đường thẳng // BC cắt AB, AC và AM lần lượt tại E, và I.Chứng minh IE ID. Nhớ được các bài toán có liên quan đến một phần của bài thi ta quivề bài toán đó thì giải quyết đề thi một cách dễ dàng.Bài Cho đường tròn tâm đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếptuyến Ax lấy điểm sao cho BF cắt đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Axtại và cắt đường tròn tại D.a) Chứng minh OD // BC.b) Chứng minh hệ thức: BD.BE BC.BFc) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hìnhthoi AOCD theo R.BÀI GIẢI CHI TIẾTa) Chứng minh OD // BC. ình 7BODDcân (vì OD OB R) ··OBD ODBÞ =Mà ··OBD CBD (gt) nên ··ODB CBD Do đó: OD // BC.b) Chứng minh hệ thức: BD.BE BC.BF.····CDB CABCAB CFAì=ïí=ïîxFEDCBOADoc24.vn·090ADB=(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) AD BEÞ .·090ACB=(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) AC BFÞ EABD vuông (do Ax là tiếp tuyến ), có AD BE nên:AB BD.BE (1) .FABD vuông (do Ax là tiếp tuyến), có AC BF nên AB BC.BF (2) .Từ (1) và (2) suy ra: BD.BE BC.BF .c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp:Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) cùng phụ ·FAC ··CDB CFAÞ =Do đó tứ giác CDEF nội tiếp.Cách khácDDBCDvà FBED có: µB chung và BD BCBF BE= (suy từ BD.BE BC.BF) nên chúngđồng dạng (c.g.c) Suy ra: ··EFBCDB= Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi:Ta có: ··ABD CBD (do BD là phân giác ·ABC »»AD CDÞ .Tứ giác AOCD là hình thoi ÛOA AD DC OCÛAD DC »»060AD DCÛ =»0120ACÛ ·060ABCÛ =Vậy ·060ABC= thì tứ giác AOCD là hình thoi.Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:»0120 3AC AC R= =.Sthoi AOCD 21 3. 32 2ROD AC R= (đvdt) ình 8Lời bàn1. Với câu 1, từ gt BD là phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ ngayđến cần chứng minh hai góc so le trong ·ODB và ·OBD bằng nhau.2. Việc chú đến các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB,FAB vuông do Ax là tiếp tuyến gợi ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông quenthuộc. Tuy nhiên vẫn có thể chứng minh hai tam giác BDC và BFE đồng dạng trước rồiHN FECB ADoc24.vnsuy ra BD.BE BC.BF. Với cách thực hiện này có ưu việc hơn là giải luôn được câu 3.Các em thử thực hiện xem sao?3. Khi giải được câu thì câu có thể sử dụng câu hoặc có thể chứng minh nhưbài giải.4. Câu với đề yêu cầu xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD trở thànhhình thoi không phải là khó. Từ việc suy luận AD CD nghĩ ngay đến cung AC bằng120 từ đó suy ra số đo góc ABC bằng 60 0. Tính diện tích hình thoi chỉ cần nhớ côngthức, nhớ các kiến thức đặc biệt mà trong quá trình ôn tập thầy cô giáo bổ sung như»0120 3AC AC R= =,........ các em sẽ tính được dễ dàng.Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB,AC lần lượt tại và BF cắt EC tại H. Tia AH cắt đường thẳng BC tại N.a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp.b) Chứng minh FB là phân giác của ·EFN c) Giả sử AH BC Tính số đo góc ·BAC của ABC. BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp :Ta có ··090BFC BEC= =(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)Tứ giác HFCN có ··0180HFC HNC+ nên nội tiếp được trong đường tròn đường kính HC) (đpcm) .b) Chứng minh FB là tia phân giác của góc EFN Ta có ··EFBECB= (hai góc nội tiếp cùng chắn »BE của đường tròn đường kính BC) .··ECB BFN (hai góc nội tiếp cùng chắn ¼HN của đường tròn đường kính HC) .Suy ra: ··EFBBFN= Vậy FB là tia phân giác của góc EFN (đpcm)c) Giả sử AH BC. Tính số đo góc BAC của tam giác ABC :DFAH và DFBC có: ··0AFH 90BFC= AH BC (gt) ··FAH FBC= (cùng phụ ·ACB) Vậy DFAH DFBC (cạnh huyền- góc nhọn). Suy ra: FA FB.DAFB vuông tại F; FA FB nên vuông cân. Do đó ·045BAC= .Bài (Các em tự giải)Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cát nhau tại H.=//OFECDBADoc24.vna) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.b) Chứng minh AD. AC AE. AB.c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA DE.d) Cho biết OA ·060BAC= Tính BH. BD CH. CE theo .Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm nằm ngoài đoạnAB và kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Gọi là chân đường vuônggóc hạ từ xuống đường thẳng CD và là chân đường vuông góc hạ từ xuống đườngthẳng AC. Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp.b) AF là phân giác của ·EAD .c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng.d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích.(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢIa) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp :Ta có: ··0AFD 90AED= (gt) Hai đỉnh và cùng nhìn AD dưới góc 90 nên tứgiác EFDA nội tiếp được trong một đường tròn.b) Chứng minh AF là phân giác của góc EAD :Ta có: //AE CDAE OCOC CD^ìÞí^î Vậy ··EAC CAD so le trong)Tam giác AOC cân (vì OA OC R) nên ··CAO OCA= Do đó: ··EAC CAD .Vậy AF là phân giác của góc EAD (đpcm) .c) Chứng minh tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng :DEFA và DBDC có: ··EFACDB= (hai góc nội tiếp cùng chắn »AE của đường tròn ngoại tiếp tứ giácEFDA) .······EAC CABEAF BCDCAB DCBì=ïÞ =í=ïî. Vậy DEFA và DBDC đồng dạng (góc- góc) .Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.