A. Phương pháp giải
1. Các biểu thức sóng dừng và biên độ sóng tại các điểm
a) Nếu chọn gốc tọa độ O trùng với nút sóng, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó gần O nhất đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
+ Phương trình dao động tổng hợp tại M là:
uM = 2a sin (2πxn/ λ)cos (ωt - π/2)
Biên độ dao động tổng hợp tại M là: AM = 2a|sin (2πxn/λ )|
(Với xn là khoảng cách từ điểm M cần xét đến nút chọn làm gốc).
Lưu ý: Công thức tính biên độ trên cũng đúng cho trường hợp xn là khoảng cách từ M tới nút bất kỳ.
+ Vận tốc dao động của phần tử tại M là: vM = u’M (t) = 2aω sin (2πxn/λ)cos(ωt)
+ Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M trên dây: k = tanα = ux = 2a.2π /λ . cos (2πxn/λ) cos (ωt - π/2)
b) Nếu chọn gốc tọa độ O trùng với bụng sóng, gốc thời gian là lúc phần tử bụng sóng tại O đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
+ Phương trình dao động tổng hợp tại M là:
uM = 2a cos (2πxb/ λ)cos (ωt - π/2)
+ Biên độ dao động tổng hợp tại M là: AM = 2a|cos (2πxb/λ )|
(Với xb là khoảng cách từ điểm M cần xét đến bụng chọn làm gốc).
Lưu ý: Công thức tính biên độ trên cũng đúng cho trường hợp xb là khoảng cách từ M tới nút bất kỳ.
+ Vận tốc dao động của phần tử tại M là: vM = u’M (t) = 2aω cos (2πxb/λ)cos(ωt)
+ Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M trên dây: k = tanα = u'x = -2a.2π /λ . sin (2πxb/λ) cos (ωt - π/2)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một sóng dừng trên một sợi dây được mô tả bởi phương trình: u = 4 cos (πx/4 + π/2) cos (20πt - π/2)cm. Trong đó x đo bằng cm và t đo bằng giây. Tốc độ truyền sóng dọc theo dây là:
A. 80 cm/s. B. 40 cm/s. C. 60 cm/s. D. 20 cm/s.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Từ phương trình sóng u = 4 cos (πx/4 + π/2) cos (20πt - π/2)
→ 2πx/ λ = πx/4 => λ = 8cm
Tần số sóng: f = 10Hz.
Tốc độ truyền sóng dọc theo dây là: v = λ.f = 80cm/s
Ví dụ 2: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 2sin(πx/4)cos(20πt + π/2) (cm), trong đó u là li độ tại thời điểm t của một phần tử M trên dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc tọa độ O một khoảng x (x đo bằng cm, t đo bằng giây). Vận tốc dao động và hệ số góc của tiếp tuyến của phần tử trên dây có tọa độ 1cm tại thời điểm t = 1/80s lần lượt là:
A. -6 cm/s và π/4. B. -5 cm/s và -π/4.
C. -20π cm/s và -π/4. D. -30π cm/s và π/4.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vận tốc dao động và hệ số góc của tiếp tuyến của phần tử trên dây được xác định bằng biểu thức sau:
+ vdđ = u’(t) = -40πsin(πx/4)cos(20πt + π/2)
+ k = tanα = u'x = 2π/4.cosπx/4 cos (20πt + π/2)
Thay x = 1cm, t = 1/80s vào ta được: vdđ = -20π cm/s; tanα = -π/4
Ví dụ 3: Sóng dừng trên dây OP = 120cm, 2 đầu cố định. Ta thấy trên dây có 4 bó và biên độ dao động của bụng là 2cm. Tính biên độ dao động tại điểm M cách O là 65 cm.
A. 0,5 cm B. 1 cm. C. 0,75 cm. D. 0,9cm
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Dây OP có 2 đầu cố định, trên dây có 4 bó nên OP = 4λ/2 → λ = 60cm.
Biên độ dao động tại điểm M: AM = 2a|sin(2πxn/λ) = 2|sin(2π.65/60)| = 1cm
Ví dụ 4: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi với bước sóng λ. N là điểm không dao động trên dây, hai điểm P và Q ở hai bên N và có vị trí cân bằng cách N những khoảng PN = λ/6; QN = λ/12. Tỉ số li độ của P và Q tại thời điểm P, Q không đi qua vị trí cân bằng là:
A. 1. B. √2 C. -√3 D. 2√2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
N không dao động nên N là nút, ta chọn N làm gốc, khi đó: xP = λ/6, xQ = - λ/12 (P và Q nằm ở hai bó liền kề).
Tỉ số li độ của P và Q tại thời điểm P, Q không đi qua vị trí cân bằng là:
Ví dụ 5: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi với bước sóng λ = 60cm. Ba điểm theo thứ tự M, N, P trên dây (MN = 3NP = 30cm) trong đó N là điểm bụng. Khi vận tốc dao động tại P là √3 cm/s thì vận tốc dao động tại M là:
A. 3√3 cm/s B. 2√2 cm/s C. -2√3 cm/s D. -2√2 cm/s.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Chọn bụng N làm gốc, ta có: xM = -30cm; xP = 10cm (M và P nằm ở hai bó liền kề)
=> vM = -2vP = -2√3 cm/s
d) Các điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.
* Hai điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.
Hai điểm này có cùng biên độ A1 thì hoặc hai điểm này nằm hai bên nút hoặc nằm hai bên bụng.
Nếu chúng nằm hai bên nút thì chúng sẽ nằm trên hai bó liền kề (dao động ngược pha) và những điểm nằm giữa chúng sẽ có biên độ nhỏ hơn A1.
Ta có: A1 = 2a|sin2πxn/λ| = 2a sin πΔd/λ (∆d là khoảng cách của hai điểm đang xét)
Ví dụ 6: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng, biên độ tại bụng sóng là 2A (cm). M là một điểm nằm trên dây có phương trình uM = A.cos(10πt + π/3) cm, điểm N có phương trình uN = A.cos(10πt - 2π/3) cm, tốc độ truyền sóng trên dây là 1,2 m/s. Khoảng cách MN nhỏ nhất là:
A. 0,02 m. B. 0,05 m. C. 0,04 m. D. 0,07m
Hướng dẫn giải:
Bước sóng: λ = v/f = 1,2/5 = 0,24m = 24cm.
Từ phương trình dao động của hai điểm m và n ta thấy chúng dao động cùng biên độ nhưng ngược pha nhau.
Hai điểm M, N gần nhau nhất thỏa mãn trạng thái dao động trên khi chúng nằm đối xúng nhau qua nút.
Ta có AM = AN = A = 2A|sin 2πxn/λ| = 2a sin πΔd/λ =>Δd = λ/6 = 0,04m
* Ba điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.
Giả sử 3 điểm liên tiếp có cùng biên độ thì trong đó phải có hai điểm (ví dụ M, N) cùng nằm trên cùng một bó (dao động cùng pha) và một điểm còn lại nằm trên bó liền kề (dao động ngược pha với hai điểm M, N). Do vậy ta có: λ = 2(MN + NP).
Ví dụ 7: (Quốc gia – 2017) Một sợi dây căng ngang với hai đầu cố định, đang có sóng dừng. Biết khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử dây dao động với cùng biên độ 5 mm là 80 cm, còn khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử dây dao động cùng pha với cùng biên độ 5 mm là 65 cm. Tỉ số giữa tốc độ cực đại của một phần tử dây tại bụng sóng và tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 0,21. B. 0,41. C. 0,14. D. 0,12.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta để ý đến giả thuyết của bài toán, hai điểm dao động cùng biên độ 5 mm nhưng cùng pha nhau hai điểm này đối xứng qua một bụng.
Hai điểm khác cũng dao động với biên độ đúng bằng 5 mm nhưng lại cách xa nhau nhất mà không cùng pha vậy hai điểm này phải ngược pha nhau.
Từ hình vẽ, (1) và (2) là hai điểm dao động với cùng biên độ và cách xa nhau nhất. (3) và (4) là hai điểm dao động cùng biên độ và cùng pha, cũng cách xa nhau nhất.
Ta dễ dàng xác định được: λ/2 = 80 - 65 = 15 => λ = 30 cm
Biên độ của các điểm (3), (4) cách bụng một đoạn d: 5 = a|cos 2πd/λ|
Thay d = 65/2 cm vào ta tìm được a = 10/√3 mm
Ta có tỉ số δ = ωa/v = 2πa/λ = 0,12
* Các điểm có cùng biên độ nằm cách đều nhau.
- Các điểm bụng có cùng biên độ Amax = 2a nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.
- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là /4 và cùng biên độ a√2 .
Ví dụ 8: Trên sợi dây đàn hồi mang sóng dừng có 3 điểm M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau có cùng biên độ A1, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết MN = 2NP = 20cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng và biên độ tại bụng là 10cm. Tính A1 và tốc độ truyền sóng.
A. 5√3 cm và 60 m/s. B. 5cm và 75 cm/s.
C. 5√2 cm và 50 cm/s. D. 4√2 cm và 65 cm/s
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Khoảng thời gian ngắn nhất sợi dây có dạng một đoạn thẳng là T/2 = 0,04s → T = 0,08s.
Ta có: λ = (MN + NP).2 = 60cm → v = λ/T = 75 cm/s.
Dao động tại N cùng pha với dao động tại M và có cùng biên độ nên 2 điểm cùng cách bụng gần nhất một đoạn d = MN/2 = 10cm.
=> A1 = 2acos 2πd/λ = 10. cos2π10/60 = 5 cm
Ví dụ 9: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng. Trên dây có những điểm dao động với cùng biên độ A1 có vị trí cân bằng liên tiếp cách đều nhau một đoạn d1 và các điểm dao động với cùng biên độ A2 có vị trí cân bằng liên tiếp cách đều nhau một đoạn d2. Biết A1 > A2 > 0. Biểu thức nào sau đây là đúng ?
A. d1 = 0,5d2. B. d1 = 4d2. C. d1 = 0,25d2. D. d1 = 2d2.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ Trong hiện tượng sóng dừng trên dây, các điểm dao động cùng biên độ liên tiếp cách đều nhau chỉ có thể là các điểm bụng (biên độ A1 = 2a) hoặc các điểm dao động với biên độ a√2 = Ab√2/2 .
Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4.
Do vậy d1 = λ/2; d2 = λ/4 → d1 = 2d2.
C. Phương pháp giải
2. Xác định trạng thái, khoảng thời gian dao động điều hòa của các phần tử trong sóng dừng.
a) Li độ, vận tốc và gia tốc tại các thời điểm khác nhau.
* Ta chọn gốc tọa độ trùng với nút và gốc thời gian hợp lý để xác định biểu thức sóng dừng.
Ví dụ nếu chọn gốc tọa độ O trùng với nút sóng, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó gần O nhất đang ở biên dương (khi đó dây phồng to nhât).
Phương trình dao động tổng hợp tại M là:
uM = 2a sin(2πxn/λ)cos (ωt)
Suy ra phương trình li độ, vận tốc và gia tốc cho từng điểm cụ thể trên sợi dây. Từ đó ta xác định được các đại lượng mà bài toán yêu cầu.
* Ta có thể xác định trạng thái dao động của các phần tử sóng bằng phương pháp sử dụng vòng tròn lượng giác như trong dao động điều hòa với lưu ý là biên độ tại mỗi điểm đang xét phụ thuộc vào vị trí của phần tử đó trên dây.
Biên độ các điểm được xác định như phần trên.
Trong sóng dừng các điểm dao động chỉ có hai trường hợp xảy ra:
- dao động đồng pha (những điểm nằm trên cùng một bó hoặc ở các bó cùng số chẵn hoặc cùng số lẻ).
- dao động ngược pha (những điểm nằm ở một bó số chẵn ngược pha với những điểm nằm ở bó số lẻ).
D. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trên một dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6cm, phần tử sóng dao động với tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C, D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t1, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí biên. Vào thời điểm t2 = t1 + 235/120 s, phần tử D có li độ là:
A. -0,75 cm. B. 1,50 cm. C. -1,50 cm. D. 0,75 cm
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Giải theo phương trình sóng dừng.
Bước sóng: λ = 6.2 = 12 cm.
Ta chọn gốc tọa độ O trùng với nút N, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó bên phải gần O nhất đang ở biên dương (khi đó dây phồng to nhât).
Biểu thức sóng dừng: u = 2a sin(2πxn/λ)cos (ωt) (cm)
Giả sử C bên trái N, D bên phải N, suy ra xC = -10,5cm; xD = 7cm.
Ta có:
Tại thời điểm t1, uC = 1,5 cm và đang hướng ra biên (vC > 0).
Suy ra 10 πt1 = -π/4 + 2kπ (k ∈ Z)
Tại thời điểm t2 = t1 + 235/120 s, phần tử D có li độ là:
uD = -1,5cos.10π(t1 + 235/120) = -1,5 cos.(10πt1 + 235π/12) (cm) = 0,75 cm
Ví dụ 2: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi OB mô tả như hình dưới. Điểm O trùng với gốc tọa độ trục tung. Lúc t = 0 hình ảnh của sợi dây là (1), sau thời gian nhỏ nhất ∆t và 3∆t kể từ lúc t = 0 thì hình ảnh của sợi dây lần lượt là (2) và (3). Tốc độ truyền sóng là 20 m/s và biên độ của bụng sóng là 4 cm. Sau thời gian 1/30 s kể từ lúc t = 0, tốc độ dao động của điểm M là:
A. 10,9 m/s B. 6,3 m/s C. 4,4 m/s D. 7,7 m/s
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2λ = 80cm → λ = 40cm
Xét 1 phần tử bụng B gần M nhất trên sợi dây, từ đồ thị ta thấy:
Tại thời điểm t = O, B ở biên dương uB1 = 4cm. Sau thời gian ngắn nhất t2 = ∆t, B có li độ uB2 = u0. Tại thời điểm t3 = 3∆t, B có li độ uB3 = - u0.
Sử dụng vòng tròn lượng giác ta có: β = ω.(t3 – t2) = ω.2∆t; α = ω.∆t → β = 2α
Mà β = 2(π/2 – α) = π - 2α → β = π/2; α = π/4
Suy ra
Chu kỳ sóng: T = λ/vs = 0,4/20 = 0,02s.
M dao động đồng pha với B nên tại thời điểm t = 0, B ở biên dương thì M cũng ở biên dương, do đó AM = 2√2 cm.
Khoảng thời gian t = 1/30s = T + 2T/3 thì M có li độ là uM = -AM/2 (dùng vòng tròn lượng giác).
Tốc độ của M khi đó là: |vM| = √3/2 ω.AM = √3/2 . 2π/T . 2√2 = 769,5 cm/s = 7,7 m/s
Ví dụ 3: Một sợi dây đang có sóng dừng ổn định. Sóng truyền trên dây có tần số 10Hz và bước sóng 6cm. Trên dây, hai phần tử M và N có vị trí cân bằng cách nhau 8cm, M thuộc một bụng sóng dao động điều hòa với biên độ 6mm. Lấy π2 = 10. Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ 6π√2 cm/s thì phần tử N chuyển động với gia tốc có độ lớn là:
A. 6√3 m/s2. B. 6√2 m/s2. C. 6 m/s2. D. 3m/s2.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
M là bụng sóng, N cách bụng M một khoảng d = 8cm, ta thấy M và N dao động ngược pha, biên độ dao động của N là:
Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ |vM| = 6π√2 cm/s thì có độ lớn li độ │uM│ thỏa mãn:
M và N dao động ngược pha nên
Gia tốc của phần tử N có độ lớn là:
|aN| = |-ω2.uN| = ω2.|uN| = 600√2 cm/s2 = 6√2 m/s2
b) Khoảng thời gian li độ, vận tốc lặp lại, hình dạng sợi dây lặp lại.
* Giả sử trên sợi dây ta có 3 điểm sau: N là nút, P là bụng sóng gần N nhất, Q là điểm nằm giữa N và P, biết QN = d1.
Biên độ của điểm Q là: AQ = 2A sin (2πd1/λ)
Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để độ lớn li độ của P bằng biên độ của điểm C là ∆t
ứng với góc quét ∆φ1 hoặc góc quét ∆φ2.
Từ hình vẽ ta xác định được ∆φ1 và ∆φ2:
Suy ra khoảng thời gian cần xác định là: ∆t = ∆φ1/ω hoặc ∆t = ∆φ2/ω .
* Trường hợp P và Q có cùng li độ chỉ xảy ra khi chúng đi qua VTCB, do vậy khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần P và Q co cùng li độ là T/2.
Ví dụ 4: (Quốc gia – 2011) Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 2 m/s. B. 0,5 m/s. C. 1 m/s. D. 0,25 m/s.
Hướng dẫn giải:
Bước sóng của sóng truyền trên dây: λ = 4.AB = 40cm.
Biên độ của phần tử tại C:
Từ hình vẽ ta cũng tính được góc quét ∆φ ứng với khoảng thời gian ngắn nhất li độ của B bằng biên độ của C là:∆φ1 = 2 arccos AC/AB = π/2= ∆φ2 ứng với khoảng thời gian là T/4
Suy ra T/4 = 0,2s → T = 0,8s.
Ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây: v = λ/T = 50cm/s = 0,5m/s.
Được cập nhật: 17 tháng 4 lúc 18:36:46 | Lượt xem: 4323
