Bài tập ứng dụng đạo hàm mức độ 4

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hàm số
như hình vẽ. Xét hàm số

có đồ thị
. Mệnh đề nào dưới

đây đúng?
y
3
1

1

x

O1

3

2

A.

.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn A
Ta có:

Căn cứ vào đồ thị

, ta có:
y
3

 P
1

1
x

1

3
2

Ngoài ra, vẽ đồ thị
(đường nét đứt ), ta thấy

của hàm số
đi qua các điểm

trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên
,

Rõ ràng
o Trên khoảng
o Trên khoảng

thì
thì

, nên
, nên

,

với đỉnh

.

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm
–

trên

như sau:

Vậy
Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số

để đường thẳng

điểm phân biệt?
A.

cắt đồ thị của hàm số

B.

C.

tại bốn
D.

Lời giải
Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
,
Số nghiệm của

.

bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số

và

.
Ta có:

Giải phương trình bằng MTBT ta được 4 nghiệm

. Các nghiệm này đã được lưu

chính xác ở trong bộ nhớ của MTBT.
Bảng biến thiên:

Từ BBT và
Câu

3:

(THPT

Chuyên

Hùng

Vương-Phú

(tham số
của biểu thức
A.

.

Thọ-lần

1-NH2017-2018)

) đồng biến trên khoảng

.

C.

.

số

. Giá trị nhỏ nhất

bằng
B.

Hàm

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có

.

Hàm số đồng biến trên
TH1:

.
.

Do vai trò của

là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp

.

.
TH2:

(do vai trò của

như nhau).

Ta có

.

Từ

ta có

. Dấu

xảy ra khi và chỉ khi

hoặc

.

Câu 4: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm
số

.
y
2
x

O
3
4

Gọi

2x 2x 264  x 26 x m

là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số

điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của
A.

.

B.

Chọn A
Nhận xét: Số giao điểm của
với
.
Vì
nên
đơn vị.

.

có

bằng

C.
Lời giải
với

để hàm số

.

D. .

bằng số giao điểm của

có được bằng cách tịnh tiến

lên trên

x
x
TH1: 0  m  3

TH2 : m 3

x

x

TH3 : 3  m  6
TH1:
. Đồ thị hàm số có điểm cực trị. Loại.
TH2:
. Đồ thị hàm số có điểm cực trị. Nhận.
TH3:
. Đồ thị hàm số có điểm cực trị. Nhận.
TH4:
. Đồ thị hàm số có điểm cực trị. Loại.
Vậy
. Do
nên
.
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng .

TH4 : m 6

Câu 5: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
đồng biến trên đoạn
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Đặt
Xét hàm số
Ta có
Để hàm số

Xét hàm số

Bảng biến thiên

đồng biến trên

cần:

để hàm số

.
.

D.

.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với
đồng biến trên đoạn

thì hàm số

đồng biến trên

, hàm số

.

Câu 6: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
.

Để

hàm
thì

A.

.

B.

số

đạt

cực

trị

tại

,

thỏa

mãn

thuộc khoảng nào ?
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đạo hàm :

,

Hàm số có hai cực trị

Khi đó

,

,

là nghiệm pt

khi

có hai nghiệm phân biệt

, theo định lý Viet :

.

.

Do đó :

.

Theo đề bài, ta có :

.

Câu 7: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số
hàm số

,(

. Mệnh đề nào dưới đây sai?
y
1

2

1

x

O
2
4
A. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

.

có đạo hàm trên
liên tục trên

.

). Xét

B. Hàm số

đồng biến trên khoảng

.

C. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

.
.
Lời giải

Chọn C
Từ đồ thị thấy

và

Xét

có TXĐ
với

.

.

.
.

Có

.

Bảng biến thiên:

Hàm số

đồng biến trên

.Vậy C sai.

Câu 8: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
tham số

để đường thẳng

trọng tâm tam giác

A.

.

luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt

nằm trên đường tròn

B.

. Số các giá trị

.

,

sao cho

là

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm :
Theo yêu cầu bài toán :

Gọi

,

phải có hai nghiệm phân biệt khác

suy ra

là trọng tâm của tam giác

:

Theo yêu cầu bài toán :

.

Câu 9: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
tam giác vuông cân tại

và

. Cạnh bên

vuông góc với đáy

có đáy
. Gọi

là

lần lượt là

hình chiếu vuông góc của
tiếp hình chóp
là:

A.

.

lên cạnh bên

B.

và

. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Cách 1: Nhận xét :
kính

, nên 4 điểm

thuộc mặt cầu đường

. Bán kính
.

Cách 2: Dựng hình vuông

. Gọi

là trung điểm
S

.

K
H

D

A
M

O

B
Tam giác
giác
.
Tam giác

vuông tại

và

vuông tại

suy ra

C
suy ra

là trục đường tròn ngoại tiếp tam

. Suy ra

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

và bán kính

.

Câu 10: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
đường thẳng
sao cho
đồ thị

cắt đồ thị

của hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất, với

tại hai điểm

phân biệt

là hệ số góc của tiếp tuyến tại

.

A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm

Đường thẳng

cắt

tại hai điểm phân biệt

(1) có 2 nghiệm phân biệt khác

Khi đó

là 2 nghiệm phân biệt của (1)

(*)

(2)

để

của

Ta có

Dấu

xảy ra

(3)

Do

nên (3)

Kết hợp với (2) ta được
Câu

11:

(THPT

Chuyên

thỏa mãn (*).
Bắc

Ninh-lần

1-năm

. Tồn tại hai tiếp tuyến của

2017-2018)

Cho

hàm

số

phân biệt và có cùng hệ số

góc , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục
tương ứng tại
và
sao cho
. Hỏi có bao nhiêu giá trị của thỏa mãn yêu
cầu bài toán?
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi

với là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số

góc. Ta có
Khi đó
Hệ số góc của đường thẳng

là

Với

, do

nên

hai cặp

giá trị

Với

, do

nên

hai cặp

giá trị

KL: Có

giá trị

Câu 12: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho các số thực dương

,

. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

.

Đặt

,

. Khi đó biểu thức trở thành

với

.

.
Bảng biến thiên:
..

Vậy

.

Câu 13: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
trục

tại ba điểm có hoành độ

có đồ thị

như hình vẽ.

y

a

O

c

b

x

Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A.

.

C.

.

B.
D.
Hướng dẫn giải

Chọn C
Cách 1. Dùng bảng biến thiên kết hợp các phương án để loại trừ.
Từ đồ thị của
ta có bảng biến thiên như sau

.

cắt

Từ bảng biến thiên ta có
(
có thể xảy ra.
Cách 2. Dùng diện tích hình phẳng
Đồ thị của hàm số
liên tục trên các đoạn
hàm của

là số nhỏ nhất) nên phương án C

và

, lại có

là một nguyên

.

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

là:

.
Vì

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

là:

.
.
Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có:
Từ

suy ra

.
.

Câu 14: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Một sợi dây có chiều dài là
, được
chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành
hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu
được là nhỏ nhất?

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Gọi cạnh tam giác đều là

khi đó chu vi tam giác đều là

và do đó cạnh hình vuông có độ dài là
Tổng diện tích hình tam giác đều và hình vuông là

Khảo sát hàm số

trên

ta thấy

và chu vi hình vuông là

Câu 15:

(THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho

. Gọi

,

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

,

. Tình giá trị
A.

.

B.

Chọn D
Đk:

. Đặt

là các số thực thỏa mãn

.

C.
Lời giải

;

.
.

D.

.

.

Có

.

Vậy

.
nên
.
.
.

Suy ra

.

Câu 16: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tìm
đồng biến trên khoảng

để hàm số

?

A.

.

B.

C.

.

D.

.

.

Lời giải

Chọn B
Đặt

,

.

Xét hàm số
Ta có

trên khoảng
,

,

,
.

Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(vì

.

thì

nghịch biến trên khoảng
,

).

Điều kiện:

.

Câu 17: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Hàm số
trị lớn nhất trên đoạn
A.

tại bao nhiêu giá trị của

.

B.

.

C.

đạt giá

?
.

D.

.

Lời giải
Chọn C

y

1
1 O

x

1

 Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số, ta thấy trên đoạn
giá trị của

là

, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng

tại

.

 Cách 2: Xét hàm số

trên đoạn

.

Ta có

.

Mà

;

;

;

Vậy

,

.

Câu 18: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho
mãn

. Gọi

và

.

B.

,

là những số thực thoả

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

. Giá trị của
A.

.

là
.

Lời giải

C.

.

D.

.

Chọn A
Ta có
vì



.
.


Khi đó

.

Đặt

, xét hàm số
;

Mà

;

;

Khi đó:

;

Vậy

.

Câu 19: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả những giá trị thực của
để bất phương trình sau có nghiệm với mọi
thuộc tập xác định.
.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số

trên đoạn

Ta có

Vì

Mà
Nên

nên

;

;
và

Khi đó để bất phương trình có nghiệm với mọi

thì

.

Câu 20: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Nhà xe khoán cho hai tài xế ta-xi An và Bình mỗi
người lần lượt nhận
lít và
lít xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu

thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ
hết
lít xăng?
A. 20 ngày.

B. 15 ngày.

C. 10 ngày.

D. 25 ngày.

Lời giải
Chọn A
Gọi

là số lít xăng mà An đã dùng trong một ngày. Với

.

là số lít xăng mà Bình đã dùng trong một ngày.
Khi đó


Để An tiêu thụ hết 32 lít xăng cần



Để Bình tiêu thụ hết 72 lít xăng cần

ngày.

ngày.

Vậy tổng số ngày chạy xe của hai tài xế là

Bảng biến thiên
–

Nhìn bảng biến thiên ta thấy tổng số ngày chạy xe ít nhất của hai tài xế là
Câu 21: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

y

ngày.

có đồ thị như hình vẽ bên.

4
2

 1O
Phương trình
A.

1

x

có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
B.

C.
Lời giải

D.

Chọn B
Cách 1:
+ Tịnh tiến đồ thị
+ Tịnh tiến đồ thị

theo vectơ
theo vectơ

(hình b)
+ Vẽ đồ thị hàm số

như hình c.

ta được đồ thị hàm số
ta được đồ thị hàm số

(hình a)

y

y
4

4

y
y 
2

2
 1O

1

3

x

 1O

1

x

3

 1O

2
Hình a.

2
Hình b.

Dựa vào đồ thị hàm số

x

1

Hình c.

suy ra phương trình

có hai nghiệm thực

phân biệt.
Cách 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số
hàm số

với đường thẳng

với đường thẳng

và số giao điểm của đồ thị

luôn như nhau.

Do đó số nghiệm của phương trình

cũng chính là số nghiệm của phương trình

Phương trình
Xét

: Vì

nên pt có

nghiệm

Xét

: Vì

nên pt có

nghiệm

KL: PT đã cho có

nghiệm.

Câu 22: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
tham số. Biết

là giá trị của tham số

với

để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm

thỏa mãn

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Theo yêu bài toán:
Ta có:

Do
Dấu

.
;

nên:
xảy ra:

là

.

Vậy

.

Câu 23: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Gọi

số góc

cắt đồ thị

tại ba điểm phân biệt

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
thang
có diện tích bằng 8.
A.

là đường thẳng đi qua

.

B.

,

,

có hệ

,

. Gọi

lên trục tung. Tìm giá trị dương của

.

C.

.

D.

,

để hình

.

Lời giải
Chọn C
Phương trình đường thẳng

. Phương trình hoành độ giao điểm của

và

:
.

Để đồ thị hàm số

cắt

tại 3 điểm phân biệt thì phương trình

.ĐK:

phải có hai nghiệm phân biệt
.

Giả sử

với

Theo Viet

và

và

. Vì

là hai nghiệm của phương trình

.

. Ta có

Ta có

.

Mà

,

và

.

Do đó
.

và

Kết hợp với

ta có

.

Câu 24: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
đồ thị hàm số

A.

.

C.

,

có bốn đường tiệm cận.

B. Với mọi giá trị của
và

.

D.

hoặc

.

.

Lời giải

Chọn C
Với
Ta có

thì hàm số không xác định. Do đó
và

đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

.
.

sao cho

Để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận thì cần tìm
đứng, nghĩa là cần tìm

để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

để phương trình

có hai nghiệm phân biệt

khác

ĐK:

Kết hợp

có

Câu 25: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
đồ thị như hình bên. Đặt

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

sau

y

4

O
A.

nghịch biến trên khoảng

C.

nghịch biến trên khoảng

có

.
.

2

x

B.

đồng biến trên khoảng

D.

đồng biến trên khoảng

Lời giải
Chọn C
Hàm số
Do đó

;
;
. Tìm được

, có đồ thị như hình vẽ.
;

;
và hàm số

.

Ta có
;

.
.