Xét tính năng, giảm và bị chặn của các dãy số : a) b) c)

Xét hiệu: un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗ Suy ra: un là dãy số tăng (1) Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗ Nên un là dãy số bị chặn dưới (2) Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3) Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới. b) Ta có: u1 =...

Bài 7 (SGK trang 107)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:50

Lý thuyết

Câu hỏi

Xét tính năng, giảm và bị chặn của các dãy số :

a) $u_n=n+\dfrac{1}{n}$

b) $u_n=\left(-1\right)^{n-1}\sin\dfrac{1}{n}$

c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Hướng dẫn giải

Xét hiệu:

$\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1 + \frac{1}{n + 1}) - (n + \frac{1}{n}) = 1 + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} \\ = \frac{n^{2} + n - 1}{n (n + 1)} > 0, \forall n \in N^{*} \end{aligned}$

Suy ra: u_n là dãy số tăng (1)

Mặt khác: $u_{n} = n + \frac{1}{n} \geq 2 \sqrt{n . \frac{1}{n}} = 2 \forall n \in N^{*}$

Nên u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi n càng lớn thì u_n càng lớn nên u_n là dãy số không bị chặn (3)

Từ (1), (2), (3) ta có u_n là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

u₁ = (-1)⁰.sin1 = sin 1 > 0

$\begin{aligned} u_{2} = {(- 1)}^{1} . \sin \frac{1}{2} = - \sin \frac{1}{2} < 0 \\ u_{3} = (- 1)^{2} . \sin \frac{1}{3} = \sin \frac{1}{3} > 0 \end{aligned}$

⇒ u₁ > u₂ và u₂ < u₃

Vậy u_n là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

$\begin{aligned} | u_{n} | = | (- 1)^{n - 1} . \sin \frac{1}{n} | = | \sin \frac{1}{n} | \leq 1 \\ \Leftrightarrow - 1 \leq u_{n} \leq 1 \end{aligned}$

Vậy u_n là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

$u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{n + 1 - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

Xét hiệu:

$\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{\sqrt{(n + 1) + 1} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \end{aligned}$

Ta có:

${\begin{matrix} \sqrt{n + 2} > \sqrt{n + 1} \\ \sqrt{n + 1} > \sqrt{n} \end{matrix} \Rightarrow \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} < \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} < 0$

⇒ u_nlà dãy số giảm (1)

Mặt khác:

$u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} > 0, \forall n \in N *$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{2} + 1$

Nên $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: u_n là dãy số giảm và bị chặn

Update: 14 tháng 5 2019 lúc 11:52:39