Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 62 (SBT trang 124)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:55

Lý thuyết

Câu hỏi

Chứng minh rằng :

                    \(a+b+c\le\dfrac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

với a, b, c là những số dương tùy ý

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\b^2c+\dfrac{1}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\c^2a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge a+b+c\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Update: 14 tháng 5 2019 lúc 10:43:29

Các câu hỏi cùng bài học