Bài 6 (SGK trang 106)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:29

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :

\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)

Ta có a,b,c > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

và \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Ta được: Vế trái \(\ge\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}+\dfrac{2\sqrt{bc}}{a}+2\dfrac{\sqrt{ac}}{b}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{ab}\times2\sqrt{bc}\times2\sqrt{ac}}{abc}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8\sqrt{a^2b^2c^2}}{abc}\ge6}\) (Đpcm)

Vậy: \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)