Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 6. Đường hypebol

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 12 tháng 10 2020 lúc 15:19:43


Mục lục
* * * * *

Bài 36 trang 108 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \({{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\) Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

LG a

Tiêu cự của (H) là 2c, trong đó \({c^2} = {a^2} + {b^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Là mệnh đề đúng.

LG b

 (H) có độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.

Lời giải chi tiết:

Là mệnh đề đúng

LG c

Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là \(y =  \pm {a \over b}x.\)

Lời giải chi tiết:

Là mệnh đề sai.

Mệnh đề đúng là "Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là \(y =  \pm {b \over a}x.\)"

LG d

Tâm sai của (H) là \(e = {c \over a} > 1.\)

Lời giải chi tiết:

Là mệnh đề đúng.

Bài 37 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau.

LG a

\({{{x^2}} \over 9} - {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(c^2=a^2+b^2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} = 9,{b^2} = 4 \Rightarrow a = 3,b = 2,\) \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {13.} \)

Tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),\,{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\)

Các đỉnh \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right)\)

Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 4

Phương trình tiệm cận của hypebol: \(y =  \pm {2 \over 3}x.\)

LG b

\({{{x^2}} \over 9} - {y^2 \over {16}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} = 9,{b^2} = 16 \Rightarrow a = 3,b = 4 \)

\(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5.\)

Tiêu điểm  \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right).\)

Các đỉnh \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right).\)

Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 8

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \(y =  \pm {4 \over 3}x.\)

LG c

\({x^2} - 9{y^2} = 9\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} - 9{y^2} = 9 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} - {{y^2} \over 1}= 1\)

\({a^2} = 9,{b^2} = 1 \Rightarrow a = 3,b = 1,\) \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {10} \)

Tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {10} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {10} ;0} \right)\)

Các đỉnh: \({A_1}\left( { - 3;0} \right),\,{A_2}\left( {3;0} \right)\)

Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo 2b = 2

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \(y =  \pm {1 \over 3}x.\)

Bài 38 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho đường tròn (C) tâm \({F_1}\) , bán kính R và một điểm \({F_2}\)  ở ngoài (C). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua \({F_2}\) , tiếp xúc với (C) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.

Lời giải chi tiết

Gọi M là tâm đường tròn (C') đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với (C)

+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì \(MF_1 - MF_2 = R\)

+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) thì \(MF_2 - MF_1 = R\)

Do đó \(|M{F_1} - M{F_2}| = R = 2a\)

Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có \(a = {R \over 2},c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} \over 4}\) 

Phương trình chính tắc của (H) là:

\({{{x^2}} \over {{{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}} - {{{y^2}} \over {{{\left( {{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} } \over 2}} \right)}^2}}} = 1.\)

Bài 39 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau

LG a

(H) có một tiêu điểm là (5, 0) và độ dài trục thực bằng 8;

Lời giải chi tiết:

(H) có một tiêu điểm là (5, 0) nên \(c = 5\)

2a=8 nên a = 4

\(\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 9 \Rightarrow b = 3\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1.\)

LG b

(H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt 3 \), một đường tiệm cận là \(y = {2 \over 3}x;\)

Lời giải chi tiết:

(H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt 3 \) nên \(2c = 2\sqrt 3 \) hay \(c = \sqrt 3\)

\({b \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow b = {{2a} \over 3}\)

\({c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} \over 9} = 3\)

\( \Leftrightarrow 9{a^2} + 4{a^2} = 27 \Leftrightarrow 13{a^2} = 27\)

\(\Rightarrow {a^2} = {{27} \over {13}};\)

\({b^2}  = {c^2} - {a^2}= 3 - {{27} \over {13}} = {{12} \over {13}}.\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over {{{27} \over {13}}}} - {{{y^2}} \over {{{12} \over {13}}}} = 1.\)

LG c

(H) có tâm sai \(e = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(e = {c \over a} = \sqrt 5  \Rightarrow {c^2} = 5{a^2}\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 5{a^2} - {a^2}= 4{a^2}\,\,\,\,\,(1)\)

Giả sử: \((H):{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Vì \(M\left( {\sqrt {10} ;6} \right) \in (H)\) nên: \({{10} \over {{a^2}}} - {{36} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 10{b^2} - 36{a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(40{a^2} - 36{a^2} = {a^2}\left( {4{a^2}} \right)\) \(\Leftrightarrow 4{a^2} = 4{a^4}\)

\( \Rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over 1} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải chi tiết

Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Phương trình tiệm cận của (H) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\)

\({d_2}:y =  - {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (H)\) ta có: \({{x_0^2} \over {{a^2}}} - {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\)

Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(= {{|{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}}\) \( = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\) không đổi

Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right);\,{F_2}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right).\)  Chứng minh rằng với mỗi điểm M(x, y) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {1 \over x},\) ta đều có 

\(M{F_1}^2 = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2};\)

\(M{F_2}^2 = {\left( {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2}.\)

Từ đó suy ra \(|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\)

Lời giải chi tiết

Giả sử: \(M\left( {x;y} \right) \in \left( H \right)\) thì \(y = {1 \over x}\) hay \(M\left( {x;\frac{1}{x}} \right)\) ta có:

\(\overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - \sqrt 2  - x; - \sqrt 2  - \frac{1}{x}} \right),\) \(\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {\sqrt 2  - x;\sqrt 2  - \frac{1}{x}} \right)\)

\(\eqalign{
& M{F_1^2} = {\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2} \cr&= {x^2} + 2\sqrt 2 .x + 2 + {1 \over {{x^2}}} + 2\sqrt 2 .{1 \over x} + 2 \cr 
& = \left( {{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + 2} \right) + 2\sqrt 2 \left( {x + {1 \over x}} \right) + 2 \cr 
& = {\left( {{x} + {1 \over x}} \right)^2} + 2\left( {x + {1 \over x}} \right).\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr 
& = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2} \cr 
& M{F_2}^2 = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2} \cr&= {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 2\sqrt 2 \left( {x + {1 \over x}} \right) + 2 \cr 
& = {\left( {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)

Từ đó suy ra:

+) Với x > 0 thì \(x + {1 \over x} \ge 2\) (theo bất đẳng thức cô si)

Khi đó: \(M{F_1} = x + {1 \over x} + \sqrt 2 ;\) \(M{F_2} = x + {1 \over x} - \sqrt 2 \)

\(\Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = 2\sqrt 2 .\)

+) Với x < 0 thì \(\left| {x + {1 \over x}} \right| = |x| + {1 \over {|x|}} \ge 2 \Rightarrow x + {1 \over x} \le  - 2\)

Khi đó: \(M{F_1} =  - x - {1 \over x} - \sqrt 2 ;\) \(M{F_2} =  - x - {1 \over x} + \sqrt 2\)

\(  \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} =  - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\)


Được cập nhật: 21 tháng 3 lúc 1:50:41 | Lượt xem: 307