Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 5. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 12 tháng 10 2020 lúc 13:07:03


Mục lục
* * * * *

Bài 29 trang 30 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ?

LG a

Hai vec tơ \(\overrightarrow a (26;9)\) và \(\overrightarrow b (9;26)\) bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Sai

LG b

Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Đúng

LG c

Hai vec tơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

Lời giải chi tiết:

Đúng

LG d

Vec tơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i \) nếu \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Sai vì \(\overrightarrow a \) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i \) nếu \(\overrightarrow a \) có tung độ bằng 0.

LG e

Vec tơ \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0 thì nó cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow j \).

Lời giải chi tiết:

Đúng

Bài 30 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ

\(\eqalign{
& \overrightarrow a = - \overrightarrow i ;\,\,\,\overrightarrow b = 5\overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow c = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \cr 
& \overrightarrow d = {1 \over 2}(\overrightarrow j - \overrightarrow i)\,;\,\,\,\overrightarrow e = 0,15\overrightarrow i \,\, + 1,3\overrightarrow {j} \cr&\overrightarrow f = \pi \overrightarrow i - (\cos {24^0})\overrightarrow {j}\cr} \)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a = - \overrightarrow i = \left( { - 1} \right)\overrightarrow i + 0\overrightarrow j \\
\Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1;0} \right)\\
\overrightarrow b = 5\overrightarrow j = 0\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \\
\Rightarrow \overrightarrow b = \left( {0;5} \right)\\
\overrightarrow c = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 4} \right)\overrightarrow j \\
\Rightarrow \overrightarrow c = \left( {3; - 4} \right)\\
\overrightarrow d = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow j - \overrightarrow i } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow j - \frac{1}{2}\overrightarrow i \\
= \left( { - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow i + \frac{1}{2}\overrightarrow j \\
\Rightarrow \overrightarrow d = \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\\
\overrightarrow e = 0,15\overrightarrow i + 1,3\overrightarrow j \\
\Rightarrow \overrightarrow e = \left( {0,15;1,3} \right)\\
\overrightarrow f = \pi \overrightarrow i - \cos {24^0}\overrightarrow j \\
= \pi \overrightarrow i + \left( { - \cos {{24}^0}} \right)\overrightarrow j \\
\Rightarrow \overrightarrow f = \left( {\pi ; - \cos {{24}^0}} \right)
\end{array}\)

Bài 31 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho \(\overrightarrow a  = (2;1),\,\overrightarrow b  = (3;4),\,\overrightarrow c  = (7;2).\)

LG a

Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a = \left( {2;1} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow a = \left( {4;2} \right)\\
\overrightarrow b = \left( {3;4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow b = \left( {9;12} \right)\\
\overrightarrow c = \left( {7;2} \right)
\end{array}\)

Do đó, \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c  \)

\(= (4\, - 9 + 7\,;\,2 - 12 + 2) = (2\,;\, - 8)\).

LG b

Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow {c.} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

\(\Rightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c  - \overrightarrow a  \)

\(= (3 - 7 - 2\,;\,4 - 2 - 1) = ( - 6\,;\,1).\)

LG c

Tìm các số \(k,l\) để \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + l\overrightarrow b .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a = \left( {2;1} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {2k;k} \right)\\
\overrightarrow b = \left( {3;4} \right) \Rightarrow l\overrightarrow b = \left( {3l;4l} \right)\\
\Rightarrow k\overrightarrow a + l\overrightarrow b = \left( {2k + 3l;k + 4l} \right)
\end{array}\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b = (7\,;\,2) \cr&\Rightarrow \,\left\{ \matrix{
2k + 3l = 7 \hfill \cr 
k + 4l = 2 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = 4,4 \hfill \cr 
l = - 0,6 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài 32 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho \(\overrightarrow u  = {1 \over 2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \,\,,\,\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j .\)

Tìm các giá trị của \(k\) để hai vec tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương.

Lời giải chi tiết

Cho \(\overrightarrow u  = \left( {{1 \over 2}\,;\, - 5} \right)\,,\,\overrightarrow v  = \left( {k\,;\, - 4} \right)\)

Để hai vec tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương thì có số \(l\) sao cho \(\overrightarrow v  = l\overrightarrow u \) 

\( \Leftrightarrow \left( {k\,;\, - 4} \right) = \left( {{l \over 2}\,;\, - 5l} \right)\)

\(\Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
k = {l \over 2} \hfill \cr 
- 4 = - 5l \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = {2 \over 5} \hfill \cr 
l = {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Vậy với \(k = {2 \over 5}\) thì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \)  cùng phương.

Cách trình bày khác:

Để \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương thì 

\(\frac{k}{{1/2}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \)\(\Leftrightarrow  - 5k =  - 4.\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow  - 5k =  - 2 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}\)

Bài 33 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

LG a

Tọa độ của điểm \(A\) bằng tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {OA} \), với \(O\) là gốc tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Đúng.

LG b

Hoành độ của một điểm bằng \(0\) thì điểm đó nằm trên trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Sai vì hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục tung.

LG c

Điểm \(A\) nằm trên trục tung thì \(A\) có hoành đô bằng \(0\).

Lời giải chi tiết:

Đúng.

LG d

\(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ điểm \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm \(A\) và \(B\).

Lời giải chi tiết:

Sai vì \(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ điểm \(P\) bằng trung bình cộng các  hoành độ của hai điểm \(A\) và \(B\); tung độ điểm \(P\) bằng trung bình cộng các  tung độ của hai điểm \(A\) và \(B\).

LG e

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \({x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\) và \({y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\).

Lời giải chi tiết:

Đúng vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \,\,I\) vừa là trung điểm của \(AC\), vừa là trung điểm của \(BD\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
2{x_I} = {x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D} \hfill \cr 
2{y_I} = {y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D} \hfill \cr} \right.\)

Bài 34 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 3;4)\,,\,B(1;1)\,,\,C(9; - 5).\)

LG a

Chứng minh ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\,\,\,\left. \matrix{
\overrightarrow {AB} = (1 + 3\,;\,1 - 4) = (4\,;\, - 3) \hfill \cr 
\overrightarrow {AC} = (9 + 3\,;\, - 5 - 4) = (12\,;\, - 9) \hfill \cr} \right\}\)

\(\Rightarrow \,\overrightarrow {AC} \, = 3\overrightarrow {AB} \)

Vậy ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

LG b

Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BD\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\,({x_D}\,;\,{y_D})\). Do \(A\) là trung điểm của \(BD\) nên ta có

\(\left\{ \matrix{
{x_A} = {{{x_B} + {x_D}} \over 2} \hfill \cr 
{y_A} = {{{y_B} + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3 = {{1 + {x_D}} \over 2} \hfill \cr 
4 = {{1 + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} = - 7 \hfill \cr 
{y_D} = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D( - 7\,;\,7)\).

LG c

Tìm tọa độ điểm \(E\) trên trục \(Ox\) sao cho \(A, B, E\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\,({x_E}\,;\,0)\) trên trục \(Ox\) sao cho \(A, B, E\) thẳng hàng.

Do đó có số \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB} \)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\, - 3} \right)\,;\cr&\overrightarrow {AE} = \left( {{x_E} + 3\,;\, - 4} \right) \cr 
& \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_E} + 3 = 4k \hfill \cr 
- 4 = - 3k \hfill \cr} \right. \Rightarrow \,\left\{ \matrix{
k = {4 \over 3} \hfill \cr 
{x_E} = {7 \over 3} \hfill \cr} \right.\cr&\Rightarrow \,E\,\left( {{7 \over 3}\,;\,0} \right)\, \cr} \)

Bài 35 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho điểm \(M(x\,;y).\) Tìm tọa độ của các điểm

LG a

\({M_1}\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Ox\).

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M_1\) đối xứng với M(x;y) qua Ox thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = x\\
{y_1} = - y
\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {x; - y} \right)\)

Vậy \({M_1}(x\,;\, - y)\)

LG b

\({M_2}\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Oy\).

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M_2\) đối xứng với M(x;y) qua Oy thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = - x\\
{y_2} = y
\end{array} \right. \Rightarrow {M_2}\left( {-x; y} \right)\)

Vậy \({M_2}( - x\,;\,y)\)

LG c

\({M_3}\) đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ \(O\).

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M_3\) đối xứng với M(x;y) qua O thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_3} = - x\\
{y_3} = - y
\end{array} \right. \Rightarrow {M_3}\left( {-x; - y} \right)\)

Vậy \({M_3}( - x\,;\, - y).\) 

Bài 36 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 4\,;1)\,,\,B(2\,;4)\,,\,C(2\,; - 2).\)

LG a

Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr 
{y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\, \cr 
& \Rightarrow \,\,G\,(0\,;\,1). \cr} \)

LG b

Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\,({x_{D\,}}\,;\,{y_D})\)  sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_C} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_D}) \hfill \cr 
{y_C} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_D}) \hfill \cr} \right.\cr& \Rightarrow \left\{ \matrix{
2 = {1 \over 3}( - 4 + 2 + {x_D}) \hfill \cr 
- 2 = {1 \over 3}(1 + 4 + {y_D}) \hfill \cr} \right. \cr 
&  \Rightarrow \,\left\{ \matrix{
{x_D} = 8 \hfill \cr 
{y_D} = - 11 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow \,\,D\,(8\,;\, - 11) \cr} \)

LG c

Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành.

Phương pháp giải:

ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E({x_E}\,;\,{y_E})\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {2 + 4;4 - 1} \right) = \left( {6;3} \right)\\
\overrightarrow {EC} = \left( {2 - {x_E}; - 2 - {y_E}} \right)
\end{array}\)

ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC}\cr&\Leftrightarrow (6\,;\,3) = (2 - {x_E}\,;\, - 2 - {y_E}) \cr 
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 2 - {x_E}\\3 = - 2 - {y_E}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{{x_E} = - 4 \hfill \cr {y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow E\,( - 4\,;\, - 5). \cr} \)


Được cập nhật: hôm kia lúc 15:34:21 | Lượt xem: 365

Các bài học liên quan