Bài 42 trang 132 SGK Đại số 10 nâng cao
Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình hai ẩn
LG a
\(x – 2 + 2(y – 1) > 2x + 4\)
Phương pháp giải:
- Vẽ đường thẳng (d): ax+by+c=0
- Xét một điểm \(M(x_0;y_0)\) không nằm trên (d).
Nếu tọa độ điểm M thỏa mãn bpt đang xét thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M (biên phụ thuộc vào dấu bất đẳng thức).
Nếu tọa độ điểm M không thỏa mãn bpt đang xét thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M (biên phụ thuộc vào dấu bất đẳng thức).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(x – 2 + 2(y – 1) > 2x + 4 \) \(⇔ -x + 2y – 8 > 0\).
Vẽ đường thẳng \((d):-x+2y-8=0\) trên mặt phẳng tọa độ.
Xét điểm O(0;0) không thuộc (d) ta thấy: \(-0+2.0-8=-8 < 0\) nên O không thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ là đường thẳng \(-x + 2y – 8 = 0\)) không chứa gốc tọa độ O (phần không gạch chéo).
LG b
\(2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 \le 0\)
Lời giải chi tiết:
Vẽ đường thẳng (d): \(2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 = 0\)
Xét điểm O(0;0) không thuộc (d) ta thấy:
\(2.0 - \sqrt 2 .0 + \sqrt 2 - 2 = \sqrt 2 - 2 < 0\) nên O thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (kể cả bờ đường thẳng \(2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 \le 0\) ) chứa gốc tọa độ O (phần không gạch chéo).
Bài 43 trang 132 SGK Đại số 10 nâng cao
Xác định tập nghiệm của mỗi hệ bất phương trình hai ẩn
LG a
\(\left\{ \matrix{
{x \over 2} + {y \over 3} - 1 > 0 \hfill \cr
2(x - 1) + {y \over 2} < 4 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
- Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ, gạch bỏ miền còn lại.
- Miền còn lại không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Hệ đã cho tương đương với hệ:
\(\left\{ \matrix{
3x + 2y - 6 > 0 \hfill \cr
4x + y - 12 < 0 \hfill \cr} \right.\)
Vẽ các đường thẳng 3x + 2y - 6 = 0 và 4x + y - 12 = 0.
Xét điểm O(0;0) không thuộc cả hai đường thẳng trên ta thấy:
\(\left\{ \begin{array}{l}
3.0 + 2.0 - 6 < 0\\
4.0 + 0 - 12 < 0
\end{array} \right.\) nên O thuộc miền nghiệm của bpt thứ hai nhưng không thuộc miền nghiệm của bpt thứ nhất.
Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch chéo (không kể biên) như hình vẽ:
LG b
\(\left\{ \matrix{
4x - 5y + 20 > 0 \hfill \cr
y > 0 \hfill \cr
- y + 5 > {{x - 3} \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
- Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ, gạch bỏ miền còn lại.
- Miền còn lại không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Hệ đã cho tương đương với hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x - 5y + 20 > 0 \hfill \cr
y > 0 \hfill \cr
x + 3y - 18 < 0 \hfill \cr} \right.\)
Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch (không kể biên) trên hình.
Bài 44 trang 132 SGK Đại số 10 nâng cao
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng khi gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò, 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 45000đ, 1kg thịt lợn lầ 35000đ. Giả sử gia đình mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.
LG a
Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó.
Lời giải chi tiết:
Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn,
Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn điều kiện: \(0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1\)
Khi đó, số đơn vị protein có được là: \(800x + 600y\) và số đơn vị lipit có được là \(200x + 400y\),
Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
800x + 600y \ge 900\\
200x + 400y \ge 400
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + 3y \ge 4,5\\
x + 2y \ge 2
\end{array} \right.\)
Vậy các điều kiện mà x và y thỏa mãn là:
\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 \le x \le 1,6 \hfill \cr
0 \le y \le 1,1 \hfill \cr
4x + 3y \ge 4,5 \hfill \cr
x + 2y \ge 2 \hfill \cr} \right.\)
Miền nghiệm của hệ trên miền tứ giác ABCD (kể cả biên) trên hình.
LG b
Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x (kilogam) thịt bò và y (kilogam) thịt lợn. Hãy biểu diễn T theo x, y
Lời giải chi tiết:
Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt kợn là:
\(T = 45x + 35y\) (nghìn đồng)
LG c
Ở câu a) ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại \((x_0;y_0)\) với \((x_0;y_0)\) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilogam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta cần tìm (x, y) sao cho T nhỏ nhất
Ta biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Tại \(A(0,6; 0,7)\) ta có: \(T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5\) (nghìn đồng)
Tại \(B(1,6; 0,2)\) ta có: \(T = 45.1,6 + 35.02 = 79\) (nghìn đồng)
Tại \(C(1,6; 1,1)\) ta có: \(T = 4,5.1,6 + 35.1,1 = 110,5\) (nghìn đồng)
Tại \(D(0,3; 1,1)\) ta có: \(T = 45.0,3 + 35.11 = 52\) (nghìn đồng)
Vậy khi \(x = 0,6\) và \(y = 0,7\) thì T đạt giá trị nhỏ nhất
Trả lời: gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7kg thịt lợn thì chi phí ít nhất.
Cụ thể, chi phí là 51,5 nghìn đồng.
Bài 45 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn
LG a
\(x+ 3+ 2(2y + 5) < 2(1 – x)\)
Phương pháp giải:
- Vẽ đường thẳng (d): ax+by+c=0
- Xét một điểm \(M(x_0;y_0)\) không nằm trên (d).
Nếu tọa độ điểm M thỏa mãn bpt đang xét thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M (biên phụ thuộc vào dấu bất đẳng thức).
Nếu tọa độ điểm M không thỏa mãn bpt đang xét thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M (biên phụ thuộc vào dấu bất đẳng thức).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(x + 3+ 2(2y + 5) < 2(1 – x)\)\( \Leftrightarrow x + 3 + 4y + 10 < 2 - 2x\)
\(⇔ 3x + 4y + 11 < 0\)
Vẽ đường thẳng (d): 3x + 4y + 11 = 0.
+) Cho x=0 thì y=-11/4 ta được điểm (0;-11/4).
+) Cho y=0 thì x=-11/3 ta được điểm (-11/3;0).
Đường thẳng (d) đi qua hai điểm trên.
Xét điểm O(0;0) ta có: 3.0 + 4.0 + 11 > 0 nên O không thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo, không kể bờ (d).
LG b
\((1 + \sqrt 3 )x - (1 - \sqrt 3 )y \ge 2\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& (1 + \sqrt 3 )x - (1 - \sqrt 3 )y \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow (1 + \sqrt 3 )x - (1 - \sqrt 3 )y - 2 \ge 0 \cr} \)
Vẽ đường thẳng (d): \((1 + \sqrt 3 )x - (1 - \sqrt 3 )y - 2 = 0\).
+) Cho x=0 thì \(y = - \frac{2}{{1 - \sqrt 3 }} = 1 + \sqrt 3 \) ta được điểm \(\left( {0;1 + \sqrt 3 } \right)\)
+) Cho y=0 thì \(x = \frac{2}{{1 + \sqrt 3 }} = - 1 + \sqrt 3 \) ta được điểm \((- 1 + \sqrt 3;0)\).
Đường thẳng (d) đi qua hai điểm trên.
Xét điểm O(0;0) có: \((1 + \sqrt 3 ).0 - (1 - \sqrt 3 ).0 - 2 = -2<0\) nên O không thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo kể cả bờ (d).
Bài 46 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn
LG a
\(\left\{ \matrix{
x - y > 0 \hfill \cr
x - 3y \le - 3 \hfill \cr
x + y > 5 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
- Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ, gạch bỏ miền còn lại.
- Miền còn lại không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
x - y > 0 \hfill \cr
x - 3y \le - 3 \hfill \cr
x + y > 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - y > 0 \hfill \cr
x - 3y + 3 \le 0 \hfill \cr
x + y - 5 > 0 \hfill \cr} \right.\)
Vẽ các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):x - y = 0,\) \(\left( {{d_2}} \right):x - 3y + 3 = 0,\) \( \left( {{d_3}} \right):x + y - 5 = 0\).
Xét điểm M(1;0) không thuộc các đường thẳng trên ta thấy:
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - 0 > 0\\
1 - 3.0 + 3 > 0\\
1 + 0 - 5 < 0
\end{array} \right.\)
nên M thuộc miền nghiệm bpt 1 nhưng không thuộc miền nghiệm hai bpt còn lại.
Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo trong đó kể cả những điểm thuộc (d2) và không kể các điểm trên (d1) và (d3)
LG b
\(\left\{ \matrix{
3x - 2y - 6 \ge 0 \hfill \cr
2(x - 1) + {{3y} \over 2} \le 4 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
3x - 2y - 6 \ge 0 \hfill \cr
2(x - 1) + {{3y} \over 2} \le 4 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x - 2y - 6 \ge 0 \hfill \cr
4x + 3y - 12 \le 0 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
Lần lượt vẽ các đường thẳng:
\(3x - 2y – 6 = 0\)
\(4x + 3y – 12 = 0\)
\(x = 0\)
Xét điểm M(1;0) ta thấy
\(\left\{ \begin{array}{l}
3.1 - 2.0 - 6 < 0\\
4.1 + 3.0 - 12 < 0\\
1 > 0
\end{array} \right.\)
Do đó, M không thuộc miền nghiệm của bpt 1, M thuộc miền nghiệm của bpt 2 và 3.
Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo kể cả biên.
Bài 47 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ:
\(\left\{ \matrix{
2x - y \ge 2 \hfill \cr
x - 2y \le 2 \hfill \cr
x + y \le 5 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
LG a
Hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một tam giác.
Lời giải chi tiết:
Lần lượt dựng các đường thẳng:
\((d_1):-2x + y = -2;\) \((d_2): x – 2y = 2; \) \((d_3):x + y = 5\) và \((d_4):x = 0\).
Xét điểm M(1;1) ta thấy, M thuộc miền nghiệm của bpt 2, 3, 4 nhưng không thuộc miền nghiệm của 1.
Từ đó ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Tập nghiệm S được biểu diễn bằng miền trong của tam giác ABC với:
\(A({2 \over 3};\, - {2 \over 3});\,\,B({7 \over 3};\,{8 \over 3});\,C(4,\,1)\)
Ở đó, A là giao điểm của \((d_1)\) và \((d_2)\).
B là giao điểm của \((d_1)\) và \((d_3)\).
C là giao điểm của \((d_2)\) và \((d_3)\).
LG b
Trong (S) hãy tìm điểm có tọa độ \((x; y)\) làm cho biểu thức \(f(x;y)=y-x\) có giá trị nhỏ nhất, biết rằng \(f(x;y)\) có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của (S).
Lời giải chi tiết:
Tại \(A({2 \over 3};\, - {2 \over 3}) \Rightarrow F = - \frac{2}{3} - \frac{2}{3}= - {4 \over 3}\)
Tại \(B({7 \over 3};\,{8 \over 3}) \Rightarrow F =\frac{8}{3} - \frac{7}{3}= {1 \over 3}\)
Tại \(C(4; 1)\) thì \(F = 1-4=-3\)
Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 tại \(C(4, 1)\).
Bài 48 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Bài toán vitamin.
Một nhà khoa học nghiên cứ về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. kết quả như sau:
i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.
ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.
iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn 1/2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày
LG a
Gọi c là số tiền vitamin mà bạn phải trả (tính bằng đồng). Hãy viết phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.
Lời giải chi tiết:
x đơn vị vitamin A giá 9x đồng.
y đơn vị vitamin B giá 7,5y đồng.
Vậy \(c = 9x + 7,5y\).
LG b
Viết các phương trình biểu thị i), ii) và iii), lập thành một hệ bất phương trình rồi biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Lời giải chi tiết:
i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên
\(\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 600\\
0 \le y \le 500
\end{array} \right.\)
ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên \(400 \le x + y \le 1000\).
iii) Số đơn vị vitamin B không ít hơn 1/2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên \(\frac{1}{2}x \le y \le 3x\).
Hệ phương trình nhận được là:
\(\left\{ \matrix{
0 \le x \le 600 \hfill \cr
0 \le y \le 500 \hfill \cr
400 \le x + y \le 1000 \hfill \cr
{1 \over 2}x \le y \le 3x \hfill \cr} \right.\)
Miền nghiệm trên là miền đa giác MNPQRS (kể cả biên trên hình)
LG c
Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (S).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(M\left( {100;300} \right),N\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right),\) \(P\left( {600;300} \right),Q\left( {600;400} \right),\) \( R\left( {500;500} \right),S\left( {\frac{{500}}{3};500} \right)\)
\(\begin{array}{l}
c\left( M \right) = 9.100 + 7,5.300 = 3150\\
c\left( N \right) = 9.\frac{{800}}{3} + 7,5.\frac{{400}}{3} = 3400\\
c\left( P \right) = 9.600 + 7,5.300 = 7650\\
c\left( Q \right) = 9.600 + 7,5.400 = 8400\\
c\left( R \right) = 9.500 + 7,5.500 = 8250\\
c\left( S \right) = 9.\frac{{500}}{3} + 7,5.500 = 5250
\end{array}\)
Số tiền đạt giá trị nhỏ nhất tại \(M(100, 300)\) nên phương án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B mỗi ngày.
Chi phí mỗi ngày là 3150 đồng.
Được cập nhật: 12 tháng 4 lúc 8:06:29 | Lượt xem: 552
