Bài 21 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho phương trình
\({x^2} + {y^2} + px + (p - 1)y = 0\) (1)
Hỏi trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng?
a) (1) là phương trình của một đường tròn.
b) (1) là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.
c) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( p; p-1\right)\)
d) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( { - {p \over 2}; - {{p - 1} \over 2}} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \) .
Lời giải chi tiết
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) , với điều kiện: \({a^2} + {b^2} > c\) .
Ta có:
\(\eqalign{
& 2a = p;\,\,2b = p - 1;\,\,c = 0 \cr
& \Rightarrow a = {p \over 2};\,\,b = {{p - 1} \over 2} \cr} \)
Ta có: \({a^2} + {b^2} -c = \frac{{{p^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4} \) \(= \frac{{{p^2} + {p^2} - 2p + 1}}{4} \) \(= \frac{1}{4}\left( {2{p^2} - 2p + 1} \right) > 0,\forall p\)
Do đó phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm \(J\left( { - \frac{p}{2}; - \frac{{p - 1}}{2}} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \frac{1}{2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \)
Nên a, d đúng, c sai.
Ngoài ra, với x=0, y=0 thỏa mãn pt đường tròn nên b đúng.
Các mệnh đề đúng là: a), b), d).
Mệnh đề sai: c).
Bài 22 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau
LG a
(C) có tâm I(1, 3) và đi qua điểm A(3, 1)
Lời giải chi tiết:
Bán kính đường tròn (C) là: \(IA = \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} = 2\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8\).
Cách khác:
Do (C) có tâm I(1; 3) nên (C) có dạng :
(x – 1)2 + (y – 3)2 = R2
Mặt khác : (C) đi qua A(3; 1) => (3 – 1)2 + ( 1 – 3)2 = R2 ⇒ R2 = 8
Vậy (C) có phương trình (x – 1)2 + (y – 3)2 = 8.
LG b
(C) có tâm I(-2, 0) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y - 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Bán kính của đường tròn (C) là:
\(R = d\left( {I,\Delta } \right) = {{|2.( - 2) + 0 - 1|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}\) \(= {5 \over {\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \)
Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 5.\)
Bài 23 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương trình sau
LG a
\({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0;\)
Phương pháp giải:
Phương trình x2 + y2 +2ax + 2by + c = 0,với điều kiện a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(-a; -b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(a = -1;\,b = -1;\,c = - 2\)
\({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {1^2} + 2 = 4 > 0 \) nên \(R = 2\)
Tâm đường tròn là: I(1, 1) bán kính R=2.
LG b
\({x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 2 = 0;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(a = - 2;\,b = - 3;\,c = 2\)
\({{a^2} + {b^2} - c} = {{2^2} + {3^2} - 2} =11>0 \) nên \(R = \sqrt {11} \)
Đường tròn đã cho có tâm I(2, 3) , bán kính \(R = \sqrt {11} \)
LG c
\(2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& 2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - {5 \over 2}x - 2y + {{1 + {m^2}} \over 2} = 0 \cr} \)
Ta có: \(a = - {5 \over 4};\,b = - 1;\,c = {{1 + {m^2}} \over 2}\)
Điều kiện:
\({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 - {{1 + {m^2}} \over 2} > 0 \)
\(\Leftrightarrow {{33 - 8{m^2}} \over {16}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < {{33} \over 8} \Leftrightarrow |m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \)
Với điều kiện \(|m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \) thì (C) là đường tròn có tâm \(I\left( {{5 \over 4};1} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 4}\sqrt {33 - 8{m^2}} \)
Bài 24 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(1; - 2),N(1;2),P(5;2).\)
Lời giải chi tiết
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\)
Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}
{1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + 2a.1 + 2b.\left( { - 2} \right) + c = 0\\
{1^2} + {2^2} + 2a.1 + 2b.2 + c = 0\\
{5^2} + {2^2} + 2a.5 + 2b.2 + c = 0
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 + 2a - 4b + c = 0 \hfill \cr
5 + 2a + 4b + c = 0 \hfill \cr
29 + 10a + 4b + c = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a - 4b + c = - 5\\
2a + 4b + c = - 5\\
10a + 4b + c = - 29
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - 6x + 1 = 0\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 8\)
Bài 25 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
LG a
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm (2; 1)
Lời giải chi tiết:
Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất và đường tròn cần tìm (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.
(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).
Do đó (C) có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {a^2}\)
Vì \(M(2;1)\in(C)\) nên
\(\eqalign{
& {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {a^2} - 2a + 1 = {a^2}\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\,\,(C) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(a =1\) ta có (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)
+) Với \(a=5\) ta có \((C):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25.\)
LG b
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1, 1); (1, 4) và tiếp xúc với trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng Ox: \(y = 0\).
Giả sử: \(I (a; b)\) là tâm của đường tròn cần tìm.
Ta có: \(R = d\left( {I;{\rm{Ox}}} \right) = |b|\)
Phương trình đường tròn có dạng
\((C):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {b^2}\)
Vì \(\left( {1;1} \right) \in (C)\) và \(\left( {1;4} \right) \in (C)\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(\,1\,) \hfill \cr
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) vế với vế ta được:
\({\left( {1 - b} \right)^2} - {\left( {4 - b} \right)^2}=0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2b + {b^2} - 16 + 8b - {b^2} = 0 \)
\(\Leftrightarrow - 15 + 6b = 0\) \(\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\)
Thay \(b = {5 \over 2}\) vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} = 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - a = 2\\
1 - a = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với \(a = 3,b = \frac{5}{2}\) ta có pt đường tròn là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4};\)
Với \(a = -1,b = \frac{5}{2}\) ta có pt đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4}.\)
Bài 26 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 2 + t \hfill \cr} \right.\)
và đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)
Lời giải chi tiết
Gọi M là giao điểm của \(\Delta\) và (C).
Do \(M \in \Delta \) nên \(M\left( {1 + 2t; - 2 + t} \right)\)
\(M \in \left( C \right)\) nên thay \(x = 1 + 2t;\,y = - 2 + t\) vào phương trình đường tròn ta được:
\(\eqalign{
& {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} = 16\cr & \Leftrightarrow 4{t^2} + {t^2} - 8t + 16 = 16\cr &\Leftrightarrow 5{t^2} - 8t = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = {8 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(t = 0\) ta có \(x = 1, y = -2\) và có giao điểm \(M(1, -2)\)
+) Với \(t = {8 \over 5}\) ta có \(x = {{21} \over 5};\,y = - {2 \over 5}\) và có giao điểm \(N\left( {{{21} \over 5};{{ - 2} \over 5}} \right).\)
Bài 27 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) trong mỗi trường hợp sau
LG a
Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\)
Lời giải chi tiết:
Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 4\) có tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 2.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\) có dạng \(\Delta :3x - y + c = 0.\)
Ta có: \(d\left( {O,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = 2 \) \(\Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt {10} .\)
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:
\(3x - y - 2\sqrt {10} = 0;\) \(3x - y + 2\sqrt {10} = 0.\)
LG b
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\)
Lời giải chi tiết:
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\) có dạng:
\(d:\,2x - y + c = 0.\)
Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \) \(\Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt 5 .\)
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:
\(2x - y - 2\sqrt 5 = 0\,;\) \(2x - y + 2\sqrt 5 = 0.\)
LG c
Tiếp tuyến đi qua điểm (2, -2)
Lời giải chi tiết:
* Gọi Δ1 là tiếp tuyến của đường tròn và đi qua (2; -2).
Δ1 có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\);(A2 + B2 ≠ 0) và qua (2; - 2) nên có phương trình là:
A( x - 2) + B.( y + 2 ) = 0 hay Ax + By – 2A +2B =0
* Do Δ1 là tiếp tuyến của (C) nên
\(\begin{array}{l}d\left( {I,{\Delta _1}} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 2A + 2B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left| { - A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - A + B} \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2}} \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2AB + {B^2} = {A^2} + {B^2}\\ \Leftrightarrow - 2AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu A = 0 ⇒ B ≠ 0 ta có tiếp tuyến cần tìm là By + 2B = 0 hay y + 2 = 0
Nếu B = 0 ⇒ A ≠ 0, ta có tiếp tuyến cần tìm là Ax – 2A = 0 hay x – 2 = 0.
Bài 28 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao
Xét vị trí tương đối của đường thẳng \(\Delta \) và đường tròn (C) sau đây
\(\eqalign{
& \Delta :3x + y + m = 0, \cr
& (C):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0. \cr} \)
Lời giải chi tiết
(C) có tâm \(I(2, -1)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 1} = 2.\)
Khoảng cách từ I đến \(\Delta \) là:
\(d\left( {I,\Delta } \right) = {{|3.2 - 1 + m|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \) \(= {{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }}\)
+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) > R\)
Hay \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} > 2 \Leftrightarrow |m + 5| > 2\sqrt {10}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 5 < - 2\sqrt {10} \\
m + 5 > 2\sqrt {10}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - 5 -2 \sqrt {10} \hfill \cr
m > - 5 + 2\sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)
thì \(\Delta \) và (C) không có điểm chung.
+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\)
Hay \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |5 + m| = 2\sqrt {10} \) \( \Leftrightarrow m = - 5 \pm 2\sqrt {10} \)
thì \(\Delta \) và (C) tiếp xúc.
+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) < R\)
Hay \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} < 2 \Leftrightarrow |5 + m| < 2\sqrt {10} \)
\( \Leftrightarrow - 2\sqrt {10} < 5 + m < 2\sqrt {10} \)
\(\Leftrightarrow - 5 - 2\sqrt {10} < m < - 5 + 2\sqrt {10} \)
thì \(\Delta \) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Bài 29 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau đây
\(\eqalign{
& (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0, \cr
& (C'):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0. \cr} \)
Lời giải chi tiết
Tọa độ giao điểm của hai đường tròn thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0\,\,\,(1)\\
{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0 \,\,\, (2)
\end{array} \right.\)
Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:
\(4x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}.\)
Thay \(x = - {3 \over 2}\) vào (1) ta được:
\({9 \over 4} + {y^2} - 3 + 2y - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {y^2} + 2y - {7 \over 4} = 0\)
\(\Leftrightarrow y = - 1 \pm {{\sqrt {11} } \over 2}\)
Tọa độ hai giao điểm của (C) và (C’) là:
\(\left( { - {3 \over 2}; - 1 - {{\sqrt {11} } \over 2}} \right);\,\,\,\left( { - {3 \over 2}; - 1 + {{\sqrt {11} } \over 2}} \right)\)
Được cập nhật: 2 giờ trước (11:29:15) | Lượt xem: 313
