Bài 15 trang 89 SGK Hình học 10 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta' \) lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\) thì:
\(cos(\Delta ,\Delta ') = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\)
c) Trong tam giác ABC ta có
\(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\)
d) Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì
\(cos\varphi = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\)
e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng
Lời giải chi tiết
Các mệnh đề đúng là: b), c), e).
Các mệnh đề sai là: a), d).
Ta xét các mệnh đề:
* Mệnh đề a) sai. Cần sửa thành: cô sin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng giá trị tuyệt đối cô sin của góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng.
* Mệnh đề b) đúng vì:
Hai đường thẳng ∆ và ∆’ có VTPT lần lượt là: \(\overrightarrow n = \left( {p;1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;p} \right)\)
Do đó \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\)\( = \dfrac{{\left| {p.1 + 1.p} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + 1} .\sqrt {1 + {p^2}} }} = \dfrac{{2\left| p \right|}}{{{p^2} + 1}}\)
* Mệnh đề c) đúng theo cách xác định góc giữa hai vecto.
* Mệnh đề d sai
Góc giữa hai đường thẳng có độ lớn không vượt quá \({90^0}\).
Trong trường hợp \(\widehat {BAC}\) là góc tù ta có:
Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \(\varphi = {180^0} - \widehat {BAC}\) (1)
Áp dụng định lí cô sin trong tam giác ABC ta có:
\(\cos \widehat {BAC} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (2)
Từ (1) và (2), kết hợp tính chất hai góc bù nhau thì cos đối nhau ta có:
\(\cos \varphi = - \cos \widehat {BAC} = - \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
* Mệnh đề e) đúng vì:
Ta có y = x hay x – y = 0 (*)
Thay tọa độ hai điểm đã cho vào vế trái (*) ta được:
7- 6 = 1 > 0 và – 1- 2 = -3 < 0
=> Hai điểm đã cho nằm hai phía so với đường thẳng y = x.
Bài 16 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho ba điểm \(A(4; - 1),B( - 3;2),C(1;6)\) . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC .
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 7;3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 3;7} \right) \cr
& \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \cr &= \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} \cr
& = {{\left( { - 7} \right).\left( { - 3} \right) + 3.7} \over {\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2}} }}\cr&= {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr
& \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36'. \cr} \)
Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \({43^0}36'\) (Vì góc BAC nhọn).
Bài 17 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \(ax + by + c = 0\) một khoảng bằng h cho trước.
Lời giải chi tiết
Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\)
Đường thẳng \(\Delta '\) song song với đường thẳng \(\Delta \) đã cho có dạng:
\(\Delta ':ax + by + c' = 0.\)
Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta \) ta có:
\(a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = - c\)
Khoảng cách từ M đến \(\Delta '\) bằng h nên ta có:
\(\eqalign{
& h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c'|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c' - c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c' - c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr
& \Rightarrow c' = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
\(ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0;\)
\(ax + by + c - h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0.\)
Bài 18 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho ba điểm \(A(3;0),B( - 5;4)\) và \(P(10;2)\) . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.
Lời giải chi tiết
Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\) là VTPT của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.
\(\Delta\) đi qua P có dạng:
\(\eqalign{
& a\left( {x - 10} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \cr
& \Delta :ax + by - 10a - 2b = 0\,\,\,\,\left( * \right) \cr} \)
Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {B,\Delta } \right)\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{|3a + 0.b - 10a - 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =\cr&\;\;\;\;\; {{| - 5a + 4b - 10a - 2b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow |-7a - 2b| = |-15a + 2b| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
-7a - 2b = -15a + 2b \hfill \cr
-7a - 2b = 15a - 2b \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8a = 4b \hfill \cr
-22a = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
b = 2a \hfill \cr
a = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với b = 2a, chọn a = 1, b = 2 thay vào (*) ta có:
\(\Delta :x + 2y - 14 = 0\)
+) Với a = 0 , chọn b = 1 thay vào (*) ta có:
\(\Delta :y - 2 = 0.\)
Bài 19 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho điểm M(2, 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M.
Lời giải chi tiết
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Giả sử \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)\) là giao điểm của d với Ox, Oy.
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \left( {a - 2; - 3} \right);\overrightarrow {MB} \left( { - 2;b - 3} \right).\)
\(\Delta ABM\) vuông cân tại M khi và chỉ khi AM = BM và AM vuông BM
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr
MA = MB \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2\left( {a - 2} \right) - 3\left( {b - 3} \right) = 0 \hfill \cr
\sqrt{{\left( {a - 2} \right)^2} + 9} = \sqrt{4 + {\left( {b - 3} \right)^2}} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2a - 3b + 13 = 0\\{\left( {a - 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b - 3} \right)^2}\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{2a + 3b = 13\,\,\,\left( 1 \right)\, \hfill \cr {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b - 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Từ (1) suy ra \(b = {{13 - 2a} \over 3}\) thay vào (2) ta được:
\(\eqalign{
& {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {{{13 - 2a} \over 3} - 3} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = {{{{\left( {4 - 2a} \right)}^2}} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 81 = 16 - 16a + 4{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.
Chú ý
Các em cũng có thể từ (1) rút \(a = \frac{{13 - 3b}}{2}\) thay vào (2) sẽ được phương trình \( 5{b^2} - 30b + 65 = 0 \) suy ra pt này vô nghiệm.
Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho hai đường thẳng
\(\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr} \)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm P(3, 1) và cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Phương pháp giải
\(\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho \({\Delta}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\) và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\) bằng nhau.
Do đó, cách làm như sau:
+) Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).
+) Tính \(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _1}} \right) \) và \(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _2}} \right)\)
+) Tìm mối quan hệ của a, b từ phương trình \(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _1}} \right) = \cos \left( {\Delta ,{\Delta _2}} \right)\).
+) Chọn b=1, tìm a và suy ra phương trình đường thẳng.
Lời giải chi tiết
\({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\)
\({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right).\)
Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).
Từ hình vẽ ta thấy:
\(\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho \({\Delta}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\) và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\) bằng nhau.
Do đó,
\(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _1}} \right) = \cos \left( {\Delta ,{\Delta _2}} \right)\)
\(\eqalign{
&\Leftrightarrow {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {3a - b} \right|}}{{\sqrt {10} }}\cr &\Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + 4ab + 4{b^2}} \right) = 9{a^2} - 6ab + {b^2}\cr & \Leftrightarrow 7{a^2} - 14ab - 7{b^2} = 0\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr} \)
Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)
Được cập nhật: 18 tháng 4 lúc 8:41:19 | Lượt xem: 451
