Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 2. Phương trình tham số của đường thẳng

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 12 tháng 10 2020 lúc 14:37:22


Mục lục
* * * * *

Bài 7 trang 83 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 2t \hfill \cr} \right.\)

Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

a) Điểm \(A(-1, -4)\) thuộc \(\Delta \) .

b) Điểm \(B(8, 14)\) thuộc \(\Delta \) , điểm \(C(8,-14)\) thuộc \(\Delta \) .

c) \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;2)\) .

d) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (1; - 2)\) .

e) Phương trình \({{x - 8} \over 3} = {{y + 14} \over { - 6}}\) là phương trình chính tắc của .

f) Phương trình \({{x - 1} \over 1} = {y \over { - 2}}\) là phương trình chính tắc của .

Lời giải chi tiết

Các mệnh đề đúng là: b), d), e), f)

Các mệnh đề sai là: a), c)

Bài 8 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) .

c) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (kb;ka)\) với \(k \ne 0\) .

d) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (5b; - 5a)\) .

e) Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b)\) .

Lời giải chi tiết

Các mệnh đề đúng là: a), b), d), e)

Các mệnh đề sai là: c)

Giải thích:

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) (đúng)

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) (đúng)

Vì \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) nên \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) hoặc \(\overrightarrow u  = ( b;-a)\) đều là VTCP của \(\Delta \).

c) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (kb;ka)\) với \(k \ne 0\) (sai)

Vì \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) là một VTCP của \(\Delta \) nên \(k\overrightarrow u  = ( -k b;ka)\) là VTCP của \(\Delta \).

d) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (5b; - 5a)\) (đúng)

Vì \(( b;-a)\) là VTCP của \(\Delta \) nên \(5( b;-a)=(-5b;5a)\) cũng là một VTCP của \(\Delta \).

e) Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b)\) (đúng)

Vì hai đường thẳng vuông góc sẽ có VTPT của đường này là VTCP của đường kia.

Rõ ràng \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) nên \( (a;b)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc của \(\Delta \).

Hoặc ta thấy, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì các VTCP vuông góc với nhau.

Mà \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) nên \( (a;b)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc của \(\Delta \) vì \(-b.a+a.b=0\) (nghĩa là hai VTCP vuông góc nhau).

Bài 9 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Hãy viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau

LG a

a) \(A = ( - 3;0),B(0;5);\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;5} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm qua A(-3, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {3;5} \right)\) là:

\(\left\{ \matrix{
x = - 3 + 3t \hfill \cr 
y = 5t \hfill \cr} \right.\)

Phương trình chính tắc là: \({{x + 3} \over 3} = {y \over 5}\)

AB đi qua A(-3;0) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {5; - 3} \right)\) là VTPT nên có phương trình tổng quát là: \(5\left( {x + 3} \right) - 3\left( {y - 0} \right) = 0\) hay \(5x - 3y + 15 = 0\)

LG b

b) \(A = (4;1),B = (4;2);\)

Lời giải chi tiết:

b) \(\overrightarrow {AB} \left( {0;1} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr 
y = 1 + t \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

AB đi qua A(4;1) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1;0} \right)\) làm VTPT nên có phương trình tổng quát là: \(1\left( {x - 4} \right) + 0\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(x - 4 = 0\)

LG c

c) \(A = ( - 4;1),B = (1;4).\)

Lời giải chi tiết:

c) \(\overrightarrow {AB} \left( {5;3} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\( \left\{ \matrix{
x = - 4 + 5t \hfill \cr 
y = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\) 

Phương trình chính tắc là: \({{x + 4} \over 5} = {{y - 1} \over 3}\)

AB đi qua A(-4;1) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 5} \right)\) làm VTPT nên có phương trình tổng quát là: \(3\left( {x + 4} \right) - 5\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(3x - 5y + 17 = 0.\)

Bài 10 trang 84 SGK Hình học Nâng cao lớp 10

Cho điểm A(-5, 2) và đường thẳng \(\Delta :{{x - 2} \over 1} = {{y + 3} \over { - 2}}\) . Hãy viết phương trình đường thẳng:

LG a

Đi qua A và song song với \(\Delta \) ;

Phương pháp giải:

Đường thẳng d song song với \(\Delta \) nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }} \)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) có  vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}= \left( {1; - 2} \right)\)

Đường thẳng d song song với \(\Delta \) nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Mà d đi qua A(-5;2) nên có phương trình chính tắc là: \({{x + 5} \over 1} = {{y - 2} \over { - 2}}\)

LG b

Đi qua A và vuông góc với \(\Delta \) .

Phương pháp giải:

Đường thẳng d vuông góc với \(\Delta \) nên d có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  \)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d vuông góc với \(\Delta \) nên d có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Mà d đi qua A(-5;2) nên có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x + 5} \right) - 2.\left( {y - 2} \right) = 0 \)

\( \Leftrightarrow x + 5 - 2y + 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow x - 2y + 9 = 0.\)

Bài 11 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng

LG a

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr 
y = 5 - t \hfill \cr} \right.\) và  \(\left\{ \matrix{
x = 8 + 6{t'} \hfill \cr 
y = 4 - 3{t'} \hfill \cr} \right.;\)

Lời giải chi tiết:

LG b

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr 
y = - 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

 và \({{x - 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 3 + 2t\end{array} \right.\) đi qua A(5;-3) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\)

PTTQ: \(2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 3} \right) = 0\) hay \(2x - y - 13 = 0\)

+) Xét đường thẳng \(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y + 7}}{3}\) đi qua B(4;-7) và nhận \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;3} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 2} \right)\)

PTTQ: \(3\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y + 7} \right) = 0\) hay \(3x - 2y - 26 = 0\)

Vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}}\) nên hai đt cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau: 

\(\left\{ \matrix{
2x - y - 13 = 0 \hfill \cr 
3x - 2y - 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 13 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M(0, -13)

LG c

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr} \right.\)

 và \(x + y - 4 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 1 - t\end{array} \right.\) đi qua A(5;-1) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\)

PTTQ: \(1\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(x + y - 4 = 0\)

Vì \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 4}}\) nên hai đt trùng nhau.

Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

LG a

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \) có VTCP \((1;0)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n'} \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

Cách khác:

LG b

\(\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u_{\Delta}}= \left( {3; - 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_{\Delta '}}= {u_{\Delta}}= \left( {3; - 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

\(\eqalign{
& 3.\left( {x - 3} \right) - 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \) 

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)  do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr 
3x - 4y - 17=0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr 3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr 
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).\)

Cách khác:

LG c

\(\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_{\Delta}} \left( {5; - 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u_{\Delta '}} =\overrightarrow {n_{\Delta}}= \left( {5; - 12} \right).\) 

Đường thẳng \(\Delta '\)  qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:

 \({{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow  - 12x - 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr 
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr 
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)

Bài 13 trang 85 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trên đường thẳng \(\Delta :x - y + 2 = 0\), tìm điểm M cách đều hai điểm E(0, 4) và F(4, -9).

Lời giải chi tiết

\(\Delta :x - y + 2 = 0\)

Cho x=0 thì 0-y+2=0 hay y=2 nên ∆ đi qua A(0;2).

Đường thẳng ∆ có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) nên nhận vecto \(\overrightarrow v  = \left( {1;1} \right)\) làm VTCP.

Phương trình tham số của \(\Delta \) đi qua A(0;2) và nhận \(\overrightarrow v  = \left( {1;1} \right)\) làm VTCP là:

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Giả sử \(M\left( {t;2 + t} \right) \in \Delta \) và \(EM = FM\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 0} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2}}  \) \(= \sqrt {{{\left( {t - 4} \right)}^2} + {{\left( {t + 11} \right)}^2}} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} = {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 11} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {t^2} + {t^2} - 4t + 4\cr & = {t^2} - 8t + 16 + {t^2} + 22t + 121 \cr 
&  \Leftrightarrow  - 18t = 133\Leftrightarrow t = {{ - 133} \over {18}} \cr} \)

Vậy \(M\left( { - {{133} \over {18}}; - {{97} \over {18}}} \right).\)

Bài 14 trang 85 SGK Hình học Nâng cao lớp 10

Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4, -1). Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x - 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình bình hành ABCD có:

\(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(BC:x - 3y = 0;\,\,CD:2x + 5y + 6 = 0\) (do A không nằm trên hai đường thẳng này).

Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 0 \hfill \cr 
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{18} \over {11}} \hfill \cr 
y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(C\left( { - {{18} \over {11}}; - {6 \over {11}}} \right).\)

+) Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1; - 3} \right)\) làm VTPT.

AD có phương trình:

\(1.\left( {x - 4} \right) - 3.\left( {y + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0.\)

D là giao điểm của AD và CD  nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 7 \hfill \cr 
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{17} \over {11}} \hfill \cr 
y = - {{20} \over {11}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D\left( {{{17} \over {11}}; - {{20} \over {11}}} \right).\)

+) Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên nhận \(\overrightarrow {{n_{CD}}}  = \left( {2;5} \right)\) làm VTPT.

AB có phương trình là:

\(2.\left( {x - 4} \right) + 5.\left( {y + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 5y - 3 = 0.\)

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
2x + 5y - 3 = 0 \hfill \cr 
x - 3y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {11}} \hfill \cr 
y = {3 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(B\left( {{9 \over {11}};{3 \over {11}}} \right).\)


Được cập nhật: 21 tháng 3 lúc 0:00:37 | Lượt xem: 367