Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 2: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 8 tháng 10 2020 lúc 14:14:00


Mục lục
* * * * *

Bài 5 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Xem các bài giải sau đây và cho biết mỗi bài giải đó đúng hay sai? Vì sao?

LG a

\({{(x - 2)(x - 1)} \over {\sqrt x - 1}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {{x - 2} \over {\sqrt x - 1}}(x - 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{x - 2} \over {\sqrt x - 1}} = 0 \hfill \cr 
x - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\) 

Ta có: \({{x - 2} \over {\sqrt x  - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

\(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1, 2}

Lời giải chi tiết:

Sai khi kết luận tập nghiệm:

\(x = 1\) làm cho mẫu bằng 0 nên không thuộc ĐKXĐ của phương trình.

Do đó x=1 không thể là nghiệm.

Các em cần chú ý đặt ĐKXĐ và kiểm tra ĐKXĐ.

LG b

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 2} = 1 - x \cr&\Leftrightarrow {x^2} - 2 = {(1 - x)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 2 = 1 - 2x + {x^2} \cr&\Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = {3 \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình có nghệm: \(x = {3 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Sai vì khi bình phương hai vế chỉ được phương trình hệ quả.

Do đó phép biến đổi đầu tiền ơhair dùng dấu \( \Rightarrow \)

Nhất thiết phải thử lại giá trị x tìm được.

Bài 6 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình

LG a

\((m^2 + 2)x - 2m = x - 3\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\((m^2 + 2)x – 2m = x – 3 ⇔ (m^2+ 1)x = 2m – 3\)

Vì \(m^2+ 1 ≠ 0; ∀m\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {{2m + 3} \over {{m^2} + 1}}\)

LG b

\(m(x - m) = x + m - 2\)

Lời giải chi tiết:

\(m(x - m) = x + m – 2 \)

   \(⇔ mx – x =m^2+ m – 2\)

   \( ⇔ (m – 1)x = (m – 1)(m + 2)\)

+ Nếu \(m ≠ 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = {{(m - 1)(m + 2)} \over {m - 1}} = m + 2\)

+ Nếu \(m = 1\) thì \(0x = 0\), phương trình có tập nghiệm là \(S =\mathbb R\)

LG c

\(m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6\)

Lời giải chi tiết:

\(m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6 \)

\(⇔ mx – {m^2}+ 3m = mx – 2m + 6\)

\(⇔ 0x = {m^2}– 5m + 6 ⇔ 0x = (m – 2)( m – 3)\)

+ Nếu \(m =2\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có tập nghiệm là \(S =\mathbb R\)

+ Nếu \(m ≠ 2\) và \(m ≠ 3\) thì phương trình vô nghiệm.

LG d

\(m^2(x - 1) + m = x(3m - 2)\)

Lời giải chi tiết:

\({m^2}(x - 1) + m = x(3m - 2) \)

\(⇔ {m^2}x –  {m^2}+ m = (3m – 2)x\)

\(⇔ ( {m^2}– 3m + 2)x = {m^2}– m \)

\(⇔ (m – 1)(m – 2)x = m(m – 1)\)

+ Nếu \(m ≠ 1\) và \(m ≠ 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = {{m(m - 1)} \over {(m - 1)(m - 2)}} = {m \over {m - 2}}\)

+ Nếu \(m = 1\), ta có: \(0x = 0\), phương trình tập nghiệm \(S =\mathbb R\)

+ Nếu \(m = 2\), ta có \(0x = 2\), phương trình vô nghiệm \(S = Ø \)

Bài 7 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Dựa vào hình bên, tìm các giá trị của a để phương trình: \(3x + 2 =  - {x^2} + x + a\) có nghiệm dương.

Khi đó, hãy tìm nghiệm dương của phương trình.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2= {\rm{ }} - {x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow 3x + 2 + {x^2} - x = a\)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}a\)

Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của (P): \(x^2+ 2x + 2\) và đường thẳng d: \(y = a\)

(y=a là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và đi qua điểm (0;a))

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Phương trình có nghiệm dương khi và chỉ khi đường thẳng y=a cắt (P) tại điểm có hoành độ > 0 ứng với \(a > 2\)

Vậy a > 2.

Lại có:

\(\begin{array}{l}
3x + 2 = - {x^2} + x + a\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 - a = 0\\
\Delta ' = {1^2} - 1.\left( {2 - a} \right) = a - 1\\
\Rightarrow {x_{1,2}} = - 1 \pm \sqrt {a - 1}
\end{array}\)

Khi đó nghiệm dương của phương trình là \(x =  - 1 + \sqrt {a - 1} \)

Bài 8 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình

LG a

\(\left( {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Lời giải chi tiết:

 \(\left( {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

+ Với \(m = 1\), phương trình trở thành: \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\)

+ Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ = 9 + 4(m – 1) = 4m + 5\)

\(Δ <0 \Leftrightarrow 4m + 5 < 0\Leftrightarrow m <  - {5 \over 4}\) :  Phương trình vô nghiệm

\(Δ = 0 \Leftrightarrow 4m + 5 = 0\Leftrightarrow m =  - {5 \over 4}\) : Phương trình có nghiệm kép là:

\({x_1} = {x_2} =  - {b \over {2a}} \)\(= {{ - 3} \over {2(m - 1)}} = {{ - 3} \over {2( - {5 \over 4} - 1)}} = {2 \over 3}\)     

\(Δ > 0 \Leftrightarrow 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - {5 \over 4}\) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x _{1,2}= {{ - 3 \pm \sqrt {4m + 5} } \over {2(m - 1)}}\)

Vậy,

+) \(m = 1\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{3}\)

+) \(m =  - \frac{5}{4}\) phương trình có nghiệm kép \(x = \frac{2}{3}\)

+) \(m <  - \frac{5}{4}\) phương trình vô nghiệm

+) \( - \frac{5}{4} < m \ne 1\) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {4m + 5} }}{{2\left( {m - 1} \right)}}\).

LG b

\({x^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Lời giải chi tiết:

\({x^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Ta có: \(Δ’ = 4 – (m – 3) = 7 – m\)

+ \(Δ’ < 0  \Leftrightarrow 7 - m < 0⇔ m > 7\) : Phương trình vô nghiệm

+ \(Δ’= 0 \Leftrightarrow 7 - m = 0⇔ m = 7\) : Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} =  - {b \over {2a}} = {4 \over 2} = 2\)

+ \(Δ’> 0 \Leftrightarrow 7 - m > 0⇔ m < 7\) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt {7 - m} \)

Vậy,

+) \(m = 7\) phương trình có nghiệm kép \(x = 2\)

+) \(m > 7\) phương trình vô nghiệm

+) \(m < 7\) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt {7 - m} \).

Bài 9 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

LG a

Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2.

Chứng minh rằng:  ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 \cr& = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a\left( {{x^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)x + \frac{c}{a}} \right)\cr& = a{\rm{[}}{{{x}}^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr 
& = a\left( {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right) \cr&= a\left[ {\left( {{x^2} - {x_1}x} \right) - \left( {{x_2}x - {x_1}{x_2}} \right)} \right]\cr&= a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ - }}\,{{\rm{x}}_1}) - {x_2}(x\, - \,{x_1}){\rm{]}} \cr&= a(x - {x_1})(x - {x_2}) \cr} \)

Cách khác:

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - {x_1}x - x{x_2} + {x_1}{x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - x\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - x.\left( { - \frac{b}{a}} \right) + \frac{c}{a}} \right)\\
= a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\
= a{x^2} + bx + c
\end{array}\)

LG b

Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\)

\(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2  + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(f(x) = - 2{x^2} - 7x + 4 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(a =  - 2,{x_1} =  - 4,{x_2} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(f(x) =  - 2(x + 4)(x - {1 \over 2})\)

\( = \left( {x + 4} \right)\left[ { - 2\left( {x - \frac{1}{2}} \right)} \right] \)

\(= \left( {x + 4} \right)\left( { - 2x + 1} \right)\)

\( = (x + 4)(1 - 2x)\)

+) Giải g(x)=0 ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta ' = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} - 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1 - 2} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\
= 2 - 1\\
= 1\\
\Rightarrow {x_1} = \frac{{\sqrt 2 + 1 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}}\\
{x_2} = \frac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2
\end{array}\)

Ta có:

\(a = \sqrt 2  + 1;{x_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}};{x_2} = \sqrt 2 \)

Vậy,

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}}} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)\\ = \left[ {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - \sqrt 2 } \right]\left( {x - \sqrt 2 } \right)\end{array}\)

Bài 10 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Không giải phương trình x2 - 2x - 15 = 0, hãy tính:

LG a

Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.

Lời giải chi tiết:

Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. 

Theo định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} = 2 \hfill \cr 
{x_1}{x_2} = {c \over a} = - 15 \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(= {2^2} - 2( - 15) = 34\)

LG b

Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}) \cr 
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 - 3.(-15)) = 98 \cr} \)

LG c

Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.

Hướng dẫn: \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\) và kết quả câu a.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x_1^4 + x_2^4 = x_1^4 + x_2^4 + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2\)

\( = {(x_1^2 + x_2^2)^2} - 2(x_1x_2)^2\)

\(= {34^2} - 2( - 15)^2 = 706\)

Bài 11 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong các khẳng định sau đây, có duy nhất một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng đó

Phương trình \((\sqrt 3  - 1){x^4} + {x^2} + 2(1 - \sqrt 3 ) = 0\)

Lời giải chi tiết

Đặt y = x2

Ta có phương trình:

\((\sqrt 3  - 1){y^2} + y + 2(1 - \sqrt 3 ) = 0\)

Phương trình này có \(a = \sqrt 3  - 1,c = 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right) \)

\(\Rightarrow ac = \left( {\sqrt 3  - 1} \right).2\left( {1 - \sqrt 3 } \right) \)\(=  - 2{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} < 0\)

nên nó có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm đối nhau.

Từ đó, ta loại các phươn án (A) và (C). Phương án (D) cũng bị loại bằng cách thử trực tiếp.

Chọn (B).

Bài 12 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

LG a

2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3

Lời giải chi tiết:

 2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3;

⇔ (2m + 2)x – mx = 2m + 3 – m

⇔ (m + 2)x = m + 3

+ Nếu m ≠ -2 thì phương trình có nghiệm \(x = {{m + 3} \over {m + 2}}\)

+ Nếu m = - 2 thì 0x = 1 phương trình vô nghiệm

LG b

m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x - 1

Lời giải chi tiết:

m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x – 1

⇔ m2x – m2 + 3mx = m2x + 3x – 1

⇔ 3(m – 1)x = m2 – 1

+ Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{{m^2} - 1} \over {3(m - 1)}} = {{m + 1} \over 3}\)

+ Nếu m = 1 thì 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm \(S =\mathbb R\)

LG c

3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1)

Lời giải chi tiết:

3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1)

⇔ (3m + 1)x = 5m + 1

+ Nếu m ≠ \( - {1 \over 3}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{5m + 1} \over {3m + 1}}\)

+ Nếu m = \( - {1 \over 3}\) thì \(0x =  - {2 \over 3}\) , phương trình vô nghiệm

LG d

m2x + 6 = 4x + 3m

Lời giải chi tiết:

m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ (m2 – 4)x = 3(m – 2)

+ Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{3(m - 2)} \over {{m^2} - 4}} = {3 \over {m + 2}}\)

+ Nếu m  = 2 thì 0x = 0, ta có \(S =\mathbb R\)

+ Nếu m = -2 thì 0x = -12; S = Ø

Bài 13 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

LG a

Tìm các giá trị của p để phương trình sau vô nghiệm:

(p + 1)x – ( x + 2) = 0

Phương pháp giải:

- Biến đổi pt về dạng ax+b=0

- Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi a=0, b khác 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

(p + 1)x – ( x + 2) = 0

⇔ (p + 1)x – x – 2 = 0

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow px + x - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow px - 2 = 0
\end{array}\)

Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p = 0\\
- 2 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow p = 0\)

LG b

Tìm p để phương trình: p 2x - p = 4x – 2 có vô số nghiệm

Phương pháp giải:

Phương trình ax+b=0 có vô số nghiệm khi và chỉ khi a=b=0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

2x - p = 4x – 2

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {p^2}x - p - 4x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{p^2} - 4} \right)x - p + 2 = 0
\end{array}\)

Phương trình có vô số nghiệm 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{p^2} - 4 = 0\\
- p + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p = \pm 2\\
p = 2
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow p = 2\)

Bài 14 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau chính xác đến hàng phần trăm.

LG a

\({x^2}– 5,6x + 6,41 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(Δ = 5,6^2 – 4.6,41 = 31,36 – 25,64 = 5,72\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\({{x_1} = {\rm{ }}{{5,6 - \sqrt {5,72} } \over 2} \approx 1,60}\)

\({{x_2} = {{5,6 + \sqrt {5,72} } \over 2} \approx 4}\)

LG b

\(\sqrt 2 {x^2} + 4\sqrt 3 x - 2\sqrt 2  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình dưới dạng tương đương:

\(\matrix{
2{x^2} + 4\sqrt 6 x-4 = 0 \hfill \cr 
\Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 6 x-2 = 0 \hfill \cr} \)

\(Δ’ = 6 + 2 = 8\), phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\(\eqalign{
& {x_1} = - \sqrt 6 - \sqrt 8 \approx - 5,28 \cr 
& {x_2} = - \sqrt 6 + \sqrt 8 \approx 0,38 \cr} \)

Bài 15 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng cạnh thứ nhất dài hơn cạnh dài thứ hai là 2m, cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ ba là 23m.

Lời giải chi tiết

Gọi x(m) là độ dài cạnh thứ ba. (x > 0)

Cạnh thứ hai dài là: x+23 (m)

Cạnh thứ ba dài là: x+23+2=x+25 (m)

Vì cạnh dài nhất là cạnh huyền nên theo Pitago ta có:

\(\eqalign{
& {x^2} + {(x + 23)^2} = {(x + 25)^2} \cr& \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} + 46x + 529 = {x^2} + 50x + 625\cr&\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 12 \hfill \cr 
x = - 8\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra cạnh thứ ba dài 12m

Cạnh thứ hai dài là: 12+23=35m.

Cạnh thứ nhất dài là: 12+25=37m.

Vậy ba cạnh của tam giác vuông cần tìm là: 12m; 35m; 37m

Bài 16 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số)

LG a

(m - 1)x2 + 7x - 12 = 0

Phương pháp giải:

- Xét m-1=0

- Xét \(m-1\ne 0\) và biện luận theo các trường hợp của \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

(m - 1)x2 + 7x - 12 = 0

- Với m = 1, phương trình trở thành: \(7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\)

- Với m ≠ 1, ta có: Δ = 72 + 48(m – 1) = 48m + 1

+  \( Δ < 0 ⇔m <  - {1 \over {48}}\)  phương trình vô nghiệm

+ \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m >  - {1 \over {48}}\)  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1,2} = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2(m - 1)}}\)

+ \(\Delta = 0 \Leftrightarrow m =  - {1 \over {48}}\)  thì phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{7}{{2.\left( {m - 1} \right)}} \)\(=  - \frac{7}{{2\left( { - \frac{1}{{48}} - 1} \right)}} = \frac{{24}}{7}\)

Vậy,

\(m = 1\) thì pt có nghiệm \(x =  - \frac{{12}}{7}\)

\(m <  - \frac{1}{{48}}\) thì pt vô nghiệm

\( - \frac{1}{{48}} < m \ne 1\) thì pt có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} }}{{2\left( {m - 1} \right)}}\)

\(m =  - {1 \over {48}}\) thì pt có nghiệm kép \(x=\frac{{24}}{7}\)

LG b

mx2 - 2(m + 3)x + m + 1 = 0

Phương pháp giải:

- Xét m=0

- Xét \(m\ne 0\) và biện luận theo các trường hợp của \(\Delta' \).

Lời giải chi tiết:

mx2 - 2(m + 3)x + m + 1 = 0

+ Với m = 0, phương trình trở thành: \( - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\)

+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = (m + 3)2 – m(m + 1) = 5m + 9         

\(\Delta'  < 0 \Leftrightarrow m <  - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm

\(\Delta'  > 0 \Leftrightarrow m>  - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)

\(\Delta'  = 0 \Leftrightarrow m =  - {9 \over 5}\) phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{{b'}}{a} =  - \frac{{ - \left( {m + 3} \right)}}{m} \)\(= \frac{{ - \frac{9}{5} + 3}}{{ - \frac{9}{5}}} =  - \frac{2}{3}\)

Vậy,

Với m = 0, phương trình có nghiệm \(  x = {1 \over 6}\)

Với \( m <  - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm

Với \( 0\ne m >  - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)

Với \(m =  - {9 \over 5}\) phương trình có nghiệm kép \(x=  - \frac{2}{3}\)

LG c

[(k + 1)x - 1](x - 1) = 0

Phương pháp giải:

Phương trình tích 

\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left[ {\left( {k + 1} \right)x - 1} \right]\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {k + 1} \right)x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {k + 1} \right)x = 1\,\,\,(1)\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

+ Nếu k = -1 thì (1) là \(0x = 1\) (vô lí) nên (1) vô nghiệm.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1

+ Nếu k ≠ -1 thì (1) có nghiệm \(x = {1 \over {k + 1}}\)

Ta có: \({1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k + 1 = 1\Leftrightarrow k = 0\) .

Do đó:

i) k = 0; S = {1}

ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: \(S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\)

iii) k = -1: S = {1}

LG d

(mx - 2)(2mx - x + 1) = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\((mx - 2)(2mx - x + 1) = 0 \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
2mx - x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
\left( {2m - 1} \right)x + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 2 \hfill \cr 
(2m - 1)x = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Nếu m=0 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 2\left( {VN} \right)\\ - x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 2\\0x =  - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)

Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne \frac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{m}\\x =  - \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} \Leftrightarrow 2\left( {1 - 2m} \right) = m\) \( \Leftrightarrow 2 - 4m = m \Leftrightarrow 2 = 5m\) \( \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow x = \frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} = 5\)

Vậy,

+ Nếu m = 0 thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 1

+ Nếu m = \({1 \over 2}\) thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 4

+ Nếu \(m = \frac{2}{5}\) thì pt có nghiệm duy nhất \(x = 5\)

+ Nếu m ≠ 0, m ≠ \({1 \over 2}\) và \(m \ne \frac{2}{5}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(x_1 = {2 \over m};x_2 = {1 \over {1 - 2m}}\)

Bài 17 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -x2 - 2x + 3 và y = x2 - m theo tham số m.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  1. Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2}-m = - {x^2}-2x + 3 \)
  2. Số giao điểm bằng số nghiệm của phương trình trên.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là:

\({x^2}-m =  - {x^2}-2x + 3 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x-m-3 = 0\)    (1)

\(Δ’ = 1 + 2(m + 3) = 2m + 7\)

+ \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m >  - {7 \over 2}\) : (1) có hai nghiệm phân biệt, khi đó hai parabol cắt nhau tại hai điểm.

+ \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m =  - {7 \over 2}\) :  (1) có hai nghiệm kép, khi đó hai parabol có một điểm chung

+ \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m <  - {7 \over 2}\): (1) vô nghiệm, khi đó hai parabol không có điểm chung.

Vậy,

Với \(m >  - {7 \over 2}\) thì hai parabol có hai điểm chung.

Với \(m =  - {7 \over 2}\) thì hai parabol có một điểm chung.

Với \(m <  - {7 \over 2}\) thì hai parabol không có điểm chung.

Bài 18 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

  Tìm các giá trị của m để phương trình x2 - 4x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x13 + x23 = 40.  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm ĐK để pt có hai nghiệm.

- Sử dụng Viet thay vào đẳng thức bài cho tìm m.

- Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Δ ‘ = 4 – (m – 1) = 5 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5

Khi đó theo Viet: x1 + x2 = 4; x1x2 = m – 1

Ta có:

x13 + x23 = 40 ⇔ (x1 +x2)(x12 + x22 – x1x2) = 40

⇔ (x+ x2)[(x1 + x2)2 – 3x1x2] = 40

⇔4[16 – 3(m – 1)] = 40

\( \Leftrightarrow 64 - 12m + 12 = 40\)

⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (nhận)

Bài 19 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm ĐK để pt có hai nghiệm.

- Bình phương hệ thức bài cho biến đổi đưa về áp dụng Viet tìm m.

Lời giải chi tiết

Ta có: 

Δ = (4m + 1)2 – 8( m – 4)

\(= 16{m^2} + 8m + 1 - 8m + 32\)

= 16m2 + 33 > 0; ∀m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

x + x2 = - 4m – 1; x1x2 = 2(m – 4) (x1 > x2)

Ta có:

 x1 – x2 = 17  ⇔ (x1 – x2)2 = 289

⇔ (x+ x2)2 – 4x1x2 = 289

⇔ (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 289

⇔ 16m2 + 33 = 289

⇔ m = ± 4

+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr 
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)

+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr 
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)

Cách khác:

Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 4m - 1 \pm \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2}\)

Hiệu hai nghiệm bằng 17 nên:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} - \frac{{ - 4m - 1 - \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} + 4m + 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 33} = 17\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 33 = 289\\
\Leftrightarrow 16{m^2} = 256\\
\Leftrightarrow m = \pm 4
\end{array}\)

Bài 20 trang 81 SGK Đại số 10 nâng cao

Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm

LG a

 x4 + 8x2 + 12 = 0

Phương pháp giải:

Xét pt: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( 1 \right)\) với \(a \ne 0\).

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\) thì pt trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\left( 2 \right)\)

+) Nếu (2) vô nghiệm thì (1) vô nghiệm.

+) Nếu (2) có nghiệm kép âm thì (1) vô nghiệm.

+) Nếu (2) có nghiệm kép bằng 0 thì (1) có nghiệm duy nhất x=0.

+) Nếu (2) có nghiệm kép dương thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm trái dấu thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm cùng âm thì (1) có vô nghiệm.

+) Nếu (2) có hai nghiệm cùng dương thì (1) có 4 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương thì (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm thì (1) có nghiệm duy nhất x=0.

Lời giải chi tiết:

x4 + 8x2 + 12 = 0

Ta có: Δ’ = 4 > 0; S = -8 < 0; P = 12 > 0

Phương trình t2 + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm.

Cách khác:

Ta thấy: x2 > 0 ∀ x, x4 > 0 ∀ x nên x4 + 8x2 + 12 > 12 > 0, ∀ x.

=>Phương trình vô nghiệm.

LG b

-1,5x4 - 2,6x2 + 1 = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có: ac < 0 nên phương trình \( - 1,5{t^2} - 2,6t + 1 = 0\) có một nghiệm âm, một nghiệm dương

Vậy pt đã cho có hai nghiệm đối nhau.

LG c

\((1 - \sqrt 2 ){x^4} + 2{x^2} + 1 - \sqrt 2  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: Δ’ = 1 + (1 – 2) = 0 nên phương trình \((1 - \sqrt 2 ){t^2} + 2t + 1 - \sqrt 2  = 0\) có nghiệm kép.

Mà \(\left\{ \matrix{
S = {2 \over {\sqrt 2 - 1}} > 0 \hfill \cr 
P = {{1 - \sqrt 2 } \over {1-\sqrt 2 }} > 0 \hfill \cr} \right.\) 

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau.

LG d

\( - {x^4} + (\sqrt 3  - \sqrt 2 ){x^2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \( - {t^2} + (\sqrt 3  - \sqrt 2 )t = 0\) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm.

Bài 21 trang 81 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho phương trình: \(k{x^2} - 2\left( {k + 1} \right)x + k + 1 = 0\)

LG a

Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.

Phương pháp giải:

Chia thành hai TH:

TH1: Kiểm tra k=0 có thỏa mãn hay không.

TH2: Xét \(k\ne 0\) thì: phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

Lời giải chi tiết:

Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}>0\)   (nhận)

Với k ≠ 0, ta có:

Δ’ = (k + 1)2 – k(k + 1) = k + 1

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

+ Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0

+ Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm dương

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta ' \ge 0 \hfill \cr 
S > 0 \hfill \cr 
P > 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr 
{{2(k + 1)} \over k} > 0  \hfill \cr 
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow k > 0\)

+ Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương

Với x = 0 là nghiệm thì: \(k{.0^2} - 2\left( {k + 1} \right).0 + k + 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow k + 1 = 0 \Leftrightarrow k =  - 1\)

Khi đó, phương trình trở thành –x2 = 0 ⇔ x = 0 (không thỏa mãn)

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi \( - 1 < k < 0\) hoặc \(k = 0\) hoặc \(k > 0\)

Kết hợp ta được k > -1.

LG b

Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Phương pháp giải:

Phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1

\(\Leftrightarrow\) phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\) \(\Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0\)

Sau đó, áp dụng Viet thay vào điều kiện tìm k.

Lời giải chi tiết:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k + 1 > 0
\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k > - 1
\end{array} \right.\,\,\,(*)\)

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:

\(\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr 
& \Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \)

Kết hợp với (*) ta được k>0.

Vậy giá trị k cần tìm là k > 0.


Được cập nhật: hôm kia lúc 19:58:29 | Lượt xem: 310