Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 2: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 8 tháng 10 2020 lúc 10:29:14


Mục lục
* * * * *

Câu 6 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Phát biểu mệnh đề đảo của nguyên lí “ Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau”. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai?

Lời giải chi tiết

Mệnh đề đảo là: “Trong một tam giác, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó cân”. Mệnh đề đảo đúng. 

Chứng minh:

Giả sử tam giác ABC có hai đường cao BH = CK.

Ta có: 

\(\eqalign{
& {S_{ABC}} = {1 \over 2}.BH.AC = {1 \over 2}.CK.AB \cr 
& \Rightarrow AC = AB \cr} \)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Câu 7 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh định lý sau bằng phản chứng:

“Nếu a, b là hai số dương thì \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết

Giả sử: \(a + b < 2\sqrt {ab} \) .

Ta có: 

\(a + b - 2\sqrt {ab}  < 0 \Rightarrow {(\sqrt a  - \sqrt b )^2} < 0\) (vô lý)

Vậy \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Câu 8 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ”.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  • Cho định lí dưới dạng \(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)\)
  • Khi đó P(x) là điều kiện đủ để có Q(x).

Lời giải chi tiết

Phát biểu bằng ngôn ngữ điều kiện đủ: “a và b là hai số hữu tỉ là điều kiện đủ để tổng a + b cũng là số hữu tỉ”

hoặc "Điều kiện đủ để tổng a + b cũng là số hữu tỉ là a và b là hai số hữu tỉ"

Câu 9 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5”.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  1. Cho định lí dưới dạng \(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)\)
  2. Khi đó Q(x) là điều kiện cần để có P(x).

Lời giải chi tiết

“Một số chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó chia hết cho 15”

hoặc "Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5".

Câu 10 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu định lí “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó là 1800”.

Lời giải chi tiết

Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó là 1800

Câu 11 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh định lý sau bằng phản chứng

“Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”.

Lời giải chi tiết

Giả sử n là số tự nhiên và \({n^2}\) chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5.

Khi đó \(n = 5k + r\) với \(r \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

TH1: \(n = 5k + 1\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 1} \right)^2} = 25{k^2} + 10k + 1\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)

TH2: \(n = 5k + 2\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 2} \right)^2} = 25{k^2} + 20k + 4\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)

TH3: \(n = 5k + 3\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 3} \right)^2} = 25{k^2} + 30k + 9\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)

TH4: \(n = 5k + 4\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)

Do đó nếu \(n\) không chia hết cho 5 thì \({n^2}\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn giải thiết)

Vậy n chia hết cho 5.

Câu 12 trang 13 SGK Đại số 10 Nâng cao

Điền dấu “x” vào ô trống thích hợp trong bảng sau

CâuKhông là mệnh đềMệnh đề đúngMệnh đề sai
  24 -1 chia hết cho 5  
153 là số nguyên tố
Cấm đá bóng ở đây!
Bạn có máy tính không?

Lời giải chi tiết 

CâuKhông là mệnh đềMệnh đề đúngMệnh đề sai
  24 -1 chia hết cho 5  X
153 là số nguyên tốX
Cấm đá bóng ở đây!X
Bạn có máy tính không?X

Câu 13 trang 13 SGK Đại số 10 Nâng cao

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

LG a

 Tứ giác ABCD đã cho là một hình chữ nhật

Giải chi tiết:

Tứ giác ABCD đã cho không phải là một hình chữ nhật

LG b

9801 là số chính phương.

Giải chi tiết:

Số 9801 không là số chính phương.

Câu 14 trang 13 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800”;

Q: “Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp”.

Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

Lời giải chi tiết

Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800 thì nó là tứ giác nội tiếp”.

Mệnh đề này đúng.

Câu 15 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xét hai mệnh đề:

P: “4686 chia hết cho 6”

Q: “4686 chia hết cho 4”

Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  • Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng, Q sai.

Lời giải chi tiết

Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu 4686 chia hết cho 6 thì 4686 chia hết cho 4.

Ta thấy,

P: “4686 chia hết cho 6” là mệnh đề đúng.

Q: “4686 chia hết cho 4” là mệnh đề sai.

Vì P đúng, Q sai nên P ⇒ Q sai.

Câu 16 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác ABC.  Xét mệnh đề: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nếu và chỉ nếu AB2 + AC2 = BC2”.

Khi viết mệnh đề này dưới dạng P ⇔ Q, hãy nêu mệnh đề P và mệnh đề Q.

Lời giải chi tiết

Mệnh đề P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”.

Mệnh đề Q: “Tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2” 

Câu 17 trang 14 SGK Đại số Đại số 10 Nâng cao

Cho mệnh đề chứa biến P(n) “ “n = n2”, với n là số nguyên.

Điều dấu “x” vào ô vuông thích hợp.

Lời giải chi tiết

a) Đúng vì: \(P\left( 0 \right):''0 = {0^2}''\)

b) Đúng vì: \(P\left( 1 \right):''1 = {1^2}''\)

c) Sai vì: \(P\left( 2 \right):''2 \ne {2^2}''\)

d) Sai vì: \(P\left( -1 \right):''-1 \ne {(-1)^2}''\)

e) Đúng vì tồn tại \(0\in Z\) mà \(P\left( 0 \right):''0 = {0^2}''\)

g) Sai vì tồn tại n=2 mà \(P\left( 2 \right):''2 \ne {2^2}''\).

Câu 18 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

LG a

Mọi học sinh trong lớp em đều thích môn Toán

Giải chi tiết:

Có ít nhất một học sinh trong lớp em không thích môn Toán

LG b

Có một học sinh trong lớp em chưa biết sử dụng máy tính

Giải chi tiết:

Mọi học sinh trong lớp em đều biết sử dụng máy tính

LG c

Mọi học sinh trong lớp em đều biết đá bóng

Giải chi tiết:

Có ít nhất một học sinh trong lớp em không biết đá bóng

LG d

Có một học sinh trong lớp em chưa bao giờ được đi tắm biển.

Giải chi tiết:

Mọi học sinh trong lớp em đều đã được đi tắm biển.

Câu 19 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xác định xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đó.

LG a

\(\exists x\, \in \,R,{x^2} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề “\(\exists x\, \in \,R,{x^2} = 1\)” là đúng vì x = 1 thì 1= 1

Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ R, x2 ≠ 1”

LG b

\(\exists n\, \in \,N,\,n(n + 1)\) là một số chính phương

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề “\(\exists n\, \in \,N,\,n(n + 1)\)"  là một số chính phương, đúng vì:

Với n = 0; n(n + 1) = 0 là một số chính phương

Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ N, n(n + 1) không là số chính phương.

LG c

∀x ∈ R, (x – 1)2 ≠ x – 1

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề “∀x ∈ R, (x – 1)2 ≠ x – 1” là sai vì:

x = 1 : (1 – 1)2 = 1 – 1

Mệnh đề phủ định là “\(\exists x \in R;\,{(x - 1)^2} = x - 1\) ”

LG d

∀x ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4.

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp n chẵn (n=2k) và n lẻ (n=2k+1) để kiểm tra \(n^2\) có chia hết cho 4 hay không.

Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề “∀x ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4” là đúng vì:

Với n = 2k (k ∈ N) thì n2 + 1 lẻ nên không chia hết cho 4.

Với n = 2k + 1 (k ∈ N) thì n2 + 1 = (2k + 1)2 + 1 = 4k2 + 4k + 2 không chia hết cho 4.

Mệnh đề phủ định là: “\(\exists n \in N,\,{n^2} + 1\)  chia hết cho 4”.

Câu 20 trang 15 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau đây.

Mệnh đề “\(\exists x \in R;\,{x^2} = 2\) ”, khẳng định rằng:

  1. A. Bình phương của một số thực bằng 2
  2. B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2
  3. C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng 2
  4. D. Nếu x là một số thực thì x2 = 2   

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  • Kí hiệu \(\exists\) đọc là tồn tại hoặc "Có ít nhất"

Lời giải chi tiết

Mệnh đề “\(\exists x \in R;\,{x^2} = 2\) ” phát biểu như sau:

"Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2"

Chọn B.

Chú ý:

Kí hiệu \(\exists\) hiểu là "Có ít nhất" hoặc "Có" chứ không phải là có duy nhất một nên đáp án C không đúng.

Câu 21 trang 15 SGK Đại số 10 Nâng cao

Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P(x) là mệnh đề chứa biến “x cao trên 180cm”.

Chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau đây:

Mệnh đề ““∀x ∈ X; P(x)” khẳng định rằng:

  • A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180cm.
  • B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm.
  • C. Bất cứ ai cao trên 180cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ.
  • D. Có một số người cao trên 180cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ.

Lời giải chi tiết

Chọn A.


Được cập nhật: hôm kia lúc 14:17:25 | Lượt xem: 520