60 bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số điển hình - Phạm Văn Bình
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
-
![Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 10]()
-
![Đề cương ôn tập Toán lớp 10]()
-
![Đề cương ôn tập Toán hình học lớp 10 trường THPT Giai Xuân]()
-
![100 Bài tập tự ôn vào 10 toán hay]()
-
![Tài liệu ôn tập HKII năm học 2020-2021 môn Toán 10, trường THPT Xuân Đỉnh - Hà Nội]()
-
![Hướng dẫn ôn tập học kì 2 Toán 10 năm 2020 – 2021 trường Vinschool – Hà Nội]()
-
![Nội dung ôn tập học kì 2 Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Việt Đức – Hà Nội]()
-
![Đề cương ôn tập HK2 Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Kim Liên – Hà Nội]()
-
![Một số bài toán Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 năm 2021]()
-
![Đề cương ôn thi HKI Toán 10, trường THPT Xuân Đỉnh - Hà Nội năm học 2020-2021.]()
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì khi đó ta khảo
sát một hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T . Nếu f(t) là đơn điệu thì để f(x)=f(y) chỉ xảy ra khi x=y .
Trong phương pháp này khó nhất là các em phải xác định được tập giá trị của x và y , nếu tập giá trị
của chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng về dạng
tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0
Khi đó ta xét trường hợp : x=y , và trường hợp A(x,y)=0 .
Sau đây là một số bài mà các em tham khảo .
2 x 2 y y 3 2 x 4 x 6
Bài 1 Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 1 x 1
. - Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).
3
y y
- Chia 2 vế phương trình (1) cho x 0 1 2 2 x x3
x x
3
2
- Xét hàm số : f t 2t t f ' t 2 3t 0t R . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình
3
có nghiệm thì chỉ xảy ra khi :
x 2
y
x y x 2 . -thay vào (2) :
x
x2 1 x2 1 2 x t 2 x 2 t 2 x 0 t 2; t x
x2 1 2 x2 3 x 3
.
x 2 1 x x
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,
3;3
x
2 6 y y x 2 y
Bài 2. Giải hệ phương trình sau :
.
x x 2 y x 3y 2
Giải
x
2
x 2y 2y
x 2 y 3y 0
2 6 y y x 2 y
x 2 y y x 2 y 6 y 0
x x 2 y x 3y 2
x x 2 y x 3 y 2
x x 2 y x 3 y 2
y 0
x 2 y 2 y
.
2
x 2 y 4 y
Thay vào (2) x 2 y 4 y 2 5 y 2 2 y 4 y 2 5 y 2 4 y 2 7 y 2 0
- Trường hợp 1:
- Trường hợp :
y 0
y 0
x 2 y 3y
* .
2
2
x 2 y 9 y
x 9 y 2 y
Thay vào (2) : 9 y 2 2 y 3 y 9 y 2 2 y 3 y 2 9 y 2 5 y 9 y 2 5 y 2 0
y 1 x 9 2 7
2
t 9 y 5 y 0
t 2
2
2
9y 5y 4 0
4
16
4 264 88
2
2
y
9
2.
9
y
5
y
2
t t 2 0
9
91
9
9
3
88 4
Vậy hệ có nghiệm : x; y 7; 1 , ;
3 9
2 xy
2
2
x y x y 1
Bài 3 Giải hệ phương trình sau :
x y x2 y
Giải
2 xy
2
2
x y x y 11
a.
. Từ (2) viết lại :
x y x2 y 2
x y x y x2 x
x y
2
x y x2 x
Ta xét hàm số f(t)= t 2 t t 0 f ' t 2t 1 0 t 0 . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên
x y x y x 2 x . (*)
ta có :
2 x x2 x
2
2 xy
2
2
2
1 x 2 1 x 2 x 1 2 x 1 0
Thay vào (1) : x y 2 1 x x x
2
x
x
x 1 0
x 1 0
x 1
x 1 x 1 x 2 x 1 2 0 3 2
**
2
x 1
x 1 x 2 x 3 0
x x x 3 0
2
2
x 1; y 2
x; y 1; 2 , 1;0
Thay vào (*) : y x 2 x
x 1; y 0
x2 1 8 y 2 12
3 2 y x
2 4
Bài 4. Giải hệ phương trinh :
2
2 x y 3 x y 7
2
2
1
x2 1 8 y 2 2
3 2 y x 1
4
4
2 4
x
2 y
Từ .
. - Điều kiện : x, y 0 - Từ (1) : 2.2
3 x 2.2
3 2 y
2
2 x y 3 x y 7
2
2
2
- Xét hàm số : f (t ) 2.t 4 3t t 0 f '(t ) 8t 3 3 0 . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .
Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi : x 2 y x 4 y
- Thay vào (2) : 2
4
*
4
4
3
3
7
. Xét hàm số : f(t)= 2t t f '(t ) 4t 3 .2 0 .
2
2
2
1
y 5
x 4 y
3 7
4 1
x; y ;
- Nhận xét : f(1)=2+ . Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất .
2 2
5 5
5 y 1 x 4
5
5y
3
2
5y
x 1 x2 y 1 y 2 1
Bài 5. Giải hệ phương trình sau :
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
x 1 x 2 y 1 y 2 1 x 1 x 2 y 1 y 2
Từ :.
. ( nhân liên hợp )
x
6
x
2
xy
1
4
xy
6
x
1
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
Xét hàm số : f (t ) t 1 t 2 f '(t ) 1
t
1 t2 t
1 t2
t2 1
Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*)
- Thay vào phương trình (2) :
t t
1 t2
0t R
2
2 x 2 6 x 1 3x
x 25 2
x 6 x 2 x 2 1 4 x 2 6 x 1 2 x 2 6 x 1
x
2
4
2 x 2 6 x 1 2 x
x 0
x 0
2
x 1; y 1
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 3 x 2
2
2 x 6 x 1 9 x
7 x 6 x 1 0
x 0
x 0
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 2 x 2
2
2
2 x 6 x 1 4 x
2 x 6 x 1 0
3 11 3 11
3 11
3 11
x
;
;y
. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),(
)
2
2
2
2
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
Bài 6 Giải hệ phwpng trình :
4 x 2 y 2 2 3 4 x 7
Giải
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0 1
Từ : .
(KA-2011)
2
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
5 t2
t3 t
5 t2
3 t
- PT(1): 4 x3 x y 3 5 2 y 3 . Đặt t 5 2 y y
2
2
2
t3 t
3
2x 2x t 3 t
2
3
- Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 2 1 0u suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để f(x)=f(t) chỉ xảy ra
- Khi đó (2) : 4 x3 x
khi : 2x=t 2 x 5 2 y 4 x 2 5 2 y 2 y 5 4 x 2 4
2
5 4 x2
3
3
- Thay vào (2) : g ( x) 4 x
2 3 4 x 7 0 : x 0; .Ta thấy x=0 và x= không là
4
4
2
2
4
4
5
3
4 x 4 x 2 3
0x 0;
nghiệm . g'(x)= 8 x 8 x 2 x 2
3 4x
3 4x
2
4
1
1
- Mặt khác : g 0 x là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2.
2
2
1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x; y ; 2
2
2 2 x 13 2 x 1 2 y 3 y 2
Bài 7. Giải hệ phương trình :
4 x 2 2 y 4 6
Giải :
3
2 2 x 1 2 x 1 2 y 3 y 2 1
Từ :.
2
4 x 2 2 y 4 6
1
- Điều kiện : y 2; x *
2
- Đặt : Từ (2) : 4 x 2 y 6 36 2 x y 15 2 x 1 16 y
y 2 t y t 2 2 2 y 3 2 t 2 2 3 2t 2 1
- Từ (1):Đặt :
- Cho nên vế phải (1) : 2t 2 1 t 2t 3 t 1 : 2 x 1 2 x 1 2t 3 t
3
- Xét hàm số : f u 2u 3 u f ' u 2u 2 1 0u R . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Để f(x)=f(t)
chỉ xảy ra khi : x=t
31 53
y
2 x y 2
2 x y 2
y
15
2
2
31 53
y 31y 227 0
15 y y 2
2 x y 15
15
y
2
53 1 31 53
- Vậy hệ có nghiệm : x; y
4 ;
2
2 x3 2 x y 1 x 2 y 11
Bài 8Giải hệ phương trình :
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
2 x3 2 x y 1 x 2 y 11
Từ : .
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0 2
- Điều kiện : y 2 2 x 0(*)
- Phương trình (1) : 2 x3 2 x 2 y 1 x 2 y 1 2 x x 2 2 y 1 x 2 2
- Do : x 2 2 0 2 x y 1(**)
- Thay vào (2) : y 3 2 y 1 1 ln y 2 y 1 0 f y y 3 2 y 3 ln y 2 y 1 0
2 y 1
0 . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến .
y y 1
- Mặt khác : f(-1)=0 , do đó phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)=(0;-1)
3
8 x 3 2 x 1 y 4 y 0
Bài 9 Giải hệ phương trình :
2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0
-Ta có : f ' y 3 y 2 2
2
Giải
8 x 3 2 x 1 y 4 y 0 1
Từ : . 2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0 2
1
- Điều kiện : x .
2
- Từ (1) : 8x 3 2 x 1 y 4 y 3 *
3
- Đặt : t 2 x 1 2 x t 2 1 8x 3 2 x 1 4 t 2 1 3 t 4t 2 1 t 4t 3 t
- Do đó (*) : 4t 3 t 4 y 3 y
- Xét hàm số : f(u)= 4u 3 u f ' u 12u 2 1 0u R . Chứng tỏ hàm số đồng biến . Do đó phương
trình có nghiệm khi : f(t)=f(y) 2 x 1 y 2 x y 2 1(**)
2
- Thay vào (2) : y 2 1 4 y 2 1 2 y3 y 2 2 y 3 0 y 4 2 y3 y 2 2 y 0
y y 2 y y 2 0 y y 1 y 2 3 y 2 0 y y 1 y 2 y 1 0
3
2
y 0
y 0
y 1
1 y 0
x
;
y
;0
,
x; y 1;1
- Vậy :
1
2
2
2 2 x y 1 x 1
2 x y 1 x
2
y 2
y 1
y 2
y 0
5
x; y 1;0 ,
5 x; y ; 2
2
2
2
2 x y 1 x 1
2 x y 1 x
2
1 x2
3
2 x 2 y xy
2
Bài 10. Giải hệ phương trình :
x2 y 2 x 2 2 x2 y 1 4 x 0
2
Giải :
2
3
2 x 2 y xy
1
2
Từ : .
x2 y 2x 2 2x2 y 1 4 x 0 2
1 x 2
- Từ (2) : x2 y 2 x 2 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 2 x
2
2
1 2x
y
*
1 x 2
1 2 x
2
2
1 2x 3 1 1
x2
- Hay :
, thay vào (1) : 2 x 2 x
(3)
x 2 2 x
xy 1 2 x
x
1 2 x 1 x2 x2 2 x
2
1 1
- Nhận xét :
2
1 2 .
2
2
x
x
x
x
2 x
2
1 x
1 2x
1 1
Gọi : a 2 , b 2 b a 2
x
x
2 x
a
b
- Cho nên (3) 2 2 2 b a 2a 2a 2b 2b .
- Xét hàm số : f(t)= 2t 2t f ' t 2t ln 2 2 0t R . Hàm số đồng biến , vậy phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi : a=b , tức b-a=0 , hay :
1 1
0 x 2 . Thay vào (*) ta tìm được
2 x
3
3
y= x; y 2;
4
4
3
x 2 y 1 0
Bài 11 Giải hệ phương trình :
3 x 2 x 2 y 2 y 1 0
Giai
1
Đ/K : x 2; y .
2
Từ (2) 1 2 x 2 x 1 2 y 1 2 y 2 y 1 2 x 2 x 2 y 1 2 y 1
Ta xét hàm số : f (t ) t 3 t f '(t ) 3t 2 1 0t R . Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R
2 y 3 x
Do đó đẻ f 2 x f 2 y 1 , chỉ xảy ra khi : 2 x 2 y 1
x 3 2y
3
3
Thay vào (1) x3 3 x 1 0 x 3 x 2 0 x 1 x 2 x 2 0 x 1; y 3 1 2
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)
x 2 y 2 x 2 2 y 2 5 y 2 0
Bài 12 . Giải hệ phương trình :
2
2
2
2
y 1 x y 2 xy x x 2 xy y 1 y
Giải
Đ/K : x y 0; y 0 x y 0
Từ (2) :
y 2 1 x y y 2 y 2 2 xy x 2
y2 1 y y2
x y
2
1 x y x y
Xét hàm số : f (t ) t 2 1 t t 2
1
1
t 0
2
1 y
2
f '(t )
t
t2 1
1
1
2t t
2
0
2
2 t
t 1
2 t
1
1
2 0 với mọi t>0 )
t2 1
t2 1
Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : y x y hay x=2y .
( Vì :
t2 1 1 0
x y
Thay vào (1) : 2 y y 2 2 y 2 y 2 5 y 2 0 4 y 3 10 y 2 5 y 2 0
2
2
y 2 4 y 2 2 y 1 0 y 2 vì : 4 y 2 2 y 1 0 vô nghiệm .
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
2 x 2 x 6 6 y
Bài 13. Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 2 y 1. x 4 x 5
Giải
Điều kiện : y 2; x 6
Từ (2) : x 2 y 2 y 1. x 4 x 5
2
y 1 1 . x 2 1 . Xét hàm số
2
y 1
x 2
y2
y 1
2
f (t )
x 2 1
x 2
2
.
t 1
t
t 0
y2
.
y 1
x 2 1
2
x 2
2
1
1
f '(t ) 1 '
0.
t
1
2
2t 1
t
Chứng tỏ hàm số nghịch biến
2
2
Để f x 2 f y 1 chỉ xảy ra khi : y 1 x 2 . Thay vào (1) ta được phương trình :
1 x 2
2
t x 2 0
t x 2 0
2 x 2 x 6 7 0 2
2
t 2t t 8 7
2t t 8 7 t
0 t x 2 7
0 t x 2 7
0 t x 2 7
4
3
2
3
2
2
2 2
t 4t 46t 49 0
4t t 8 7 t
t 1 t 3t 49t 49 0
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là (x;y)=(3;0)
2
+/ Trường hợp : f (t ) t 3 3t 2 49t 49 0 f '(t ) 3t 2 6t 49 3 t 1 52 0t 0; 7
Hàm số nghịch biến và f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với mọi t 0; 7 . Phương trình vô nghiệm .
2 y 4 y 2 3 x 2 x 4 x 2 3
Bài 14. Giải hệ phương trình sau :
x
2 y 2 x 5 x 1 4024
2012
Giải
Điều kiện : 2 y 2 x 5 0
+/ Nếu x=0 suy ra y=0 nhưng lại không thỏa mãn (2) vậy x khác 0 . Từ (1( chia hai vế cho x 2 0
Khi đó :
2
3
2 y 4 y 2 3 x 2 x 4 x 2 3
2 y 2 y
2y
2y
3
3 x 3x 3 x3 3x
1
3
3
x
x
x x
x
x
Xét hàm số : f (t ) t 3 3t f '(t ) 3t 2 3 0 với mọi t thuộc R . Chứng tỏ hàm số đồng biến
2y
2y
Để f ( ) f ( x) , chỉ xảy ra khi :
x 2 y x 2 . Thay vào (2) ta được :
x
x
2 2012x
x 2 2 x 5 x 1 4024 2012.2012 x 1
Lại đặt t=x-1 suy ra : 2012.2012t
Lại xét hàm số : g (t ) 2012t
x 1
2
t 2 4 t g '(t ) 2012t ln 2012
4 x 1 4024
t 2 4 t 4024 g (t ) 2012t
t2 4 t 2
t
t 2 4 t 2012t
1
2
t 4
1
t 2 4 t ln 2012
t2 4
1
1 ln 2012 suy ra g'(t)>0 với mọi t thuộc R mà g(0)=2 cho nên với t=0 là
Vì : t 2 4 t 0 và
2
t 4
1
1
nghiệm duy nhất và : t x 1 0 x 1; y x; y 1;
2
2
Hay : g '(t ) 2012t
3
3
2
x 12 x y 6 y 16 0
Bài 15. Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
4 x 2 4 x 5 4 y y 6 0
Giải
3
x 12 x y 2 12 y 2
Điều kiện : 2 x 2;0 y 4 . Khi đó hệ
2
2
2
4 x 2 4 x 5 4 y y 6 0
Xét hàm số f t t 3 12t t 2; 2 f ' t 3t 2 12 3 t 2 4 0t 2; 2
3
Chứng tỏ hàm số nghịc biến . Cho nên để f(x)=f(y-2) chỉ xảy ra khi : x=y-2 , thay vào (2) ta được :
2 4 x2 2
4 x2 5 4 x 2 x 2 6 0 4 x2 2 4 x2 5 4 x2 6 0
2
t 4 x 2 0
2
2
t
4
x
0
t
4
x
0
4x2 6 3 4 x2
3 19
11
2
2
4
4
t
6
3
t
0; t 2
4
t
3
t
22
0
t
8
4
t 2 4 x 2 2 x 0 y 2 x; y 0; 2 . Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2)
x 2 2 y 2 3 x y 5
Bài 16. Giải hệ phương trình sau :
x 2 2 y 2 3 x y 2
Giải
x 2 2 y 2 3 x y 5 1
x 2 2 x y 2 3 y 5 1
.
2
2
x 2 y 3 x y 2 2
x 2 2 x y 2 3 y 2 2
2
3
x2 2 x
x2 2 x 2
5 1
2
2
y 3 y
x 2x
. Do :
2
2
2
y 3 y
y 3 y 3
2
x 2 x y 3 y 2 2
2
3
- Suy ra : x 2 2 x
. Cho nên (1) chỉ xảy ra khi và chỉ khi :
; y2 3 y
2
2
x 2x
y 3 y
1
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 2 x 1
x
2
2
2
2
2
y
3
y
2
y
1
y
3
y
1
y
3
y
1
y 1
1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=( ;1) .
2
2 2
2
x y 8x y 0
Bài 17 . Giải hệ phương trình sau : 2
3
2 x 4 x 10 y 0
Giải
8x
8x
2
2 2
2
2 y 2
x y 8 x y 0
y x2 1 2 x 4
Hệ : 2
y 2
3
2 x 4 x 10 y 0 y 3 8 2 x 1 2 0 y 2
x3 3x ( y 1)3 9( y 1) (1)
Bài 18. Giải hệ:
(2)
1 x 1 y 1
-
Giải
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x 1; y 1 1
-
(1) x3 3x ( y 1)3 3 y 1 , xét hàm số f (t ) t 3 3t trên [1; )
-
Hàm số đồng biến trên [1; ) , ta có f ( x) f ( y 1) x y 1
x 1 x 2
,
Với x y 1 thay vào (2) giải được x 1; x 2
y 2 y 5
-
2
(4 x 1) x ( y 3) 5 2 y 0
Bài 19 Giải hệ phương trình
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
(1)
(2)
Giải
2
(1) (4 x 1)2 x (2 y 6) 5 2 y 0
2
2
3
(2 x) 1 (2 x) 5 2 y 1 5 2 y (2 x) 2 x
5 2y
(2 x) f ( 5 2 y ) với f (t ) t 3 t . f '(t ) 3t 2 1 0, t
f (2 x) f ( 5 2 y ) 2 x 5 2 y y
5 4x
5 2y
(t ) ĐB trên
2
,x 0
2
2
3
2
2 5 4x
2 3 4 x 7 0 g ( x) 0
Thế vào pt (2) ta được 4 x
2
. Vậy
2
2
3
2 5 4x
2 3 4 x 7, x 0; . CM hàm g(x) nghịch biến.
Với g ( x ) 4 x
2
4
Ta có nghiệm duy nhất x
1
y2
2
x5 xy 4 y10 y 6
(1)
Bài 20. (Thử ĐT 2012) Giải hệ phương trình :
.
2
4 x 5 y 8 6 2
TH1 : Xét y 0 thay vào hệ thây không thỏa mãn.
Giải
x
y
TH2 : Xét y 0 , chia 2 vế của (1) cho y5 ta được ( )5
x
y 5 y (3)
y
Xét hàm số f (t ) t 5 t f '(t ) 5t 4 1 0 nên hàm số đồng biến.
x
y
Từ (3) f ( ) f ( y )
Thay vào (2) ta có PT
x
y x y2
y
4 x 5 x 8 6 x 1 . Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (1;1)
(2x 2 3x 4)(2y2 3y 4) 18
Bài 21. (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :
( x, y )
2
2
x y xy 7x 6y 14 0
Giải
7
3
10
(2) y2 ( x 6) y x 2 7 x 14 0 . y y 0 2 x
3
(2) x 2 ( y 7) x y2 6 y 14 0 . x x 0 1 y
Xét hàm số f (t ) 2t 2 3t 4, t R f '(t ) 4t - 3, f '(t ) 0 t
3
1
4
3
4
TH 1. x 2 f ( x ) f (2) 6 Kết hợp với y 1
Vì vậy trên ; hàm số f(t) đồng biến
f ( y ) f (1) 3 f (x ).f ( y ) (2x 2 3x 4)(2 y 2 3y 4) 18 .
1
2 y 2 3 y 1 0
y 1, y
TH 2. x 2 hệ trở thành 2
2 vô nghiệm
y 4 y 4 0
y 2
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 22. Giải hệ phương trình :
3
2
2
y 3 y y 4 x 22 x 21 2 x 1 2 x 1
2
2 x 11x 9 2 y
Giải
1
Điều kiện : x . Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó lấy (1) trừ cho nó ta có hệ :
2
y3 3 y 2 y 3 2 x 1 3 2 2 x 1 4 y
y 3 3 y 2 y 4 x 2 22 x 21 2 x 1 2 2 x 1
2
4 x 2 22 x 18 4 y
4 x 22 x 18 4 y
y3 3 y 2 3 y 1 2 2 y 2 x 1 3 2 2 x 1
y 1 3 2 y 1 2x 1 3 2 2x 1
4 x 2 22 x 18 4 y
4 x 2 22 x 18 4 y
3
2
Xét hàm số : f (t ) t 2t f '(t ) 3t 2 0 t R . Chứng tỏ hàm số đồng biến trên R
Để
f y 1 f
2 x 1 chỉ xảy ra khi : y 1 2 x 1 .. Thay vào (2) ta có :
2 x 2 11x 9 2 2 y 2 2 x 2 11x 11 2 y 1 2 x 2 11x 11 2 2 x 1
*
2
Đặt
t 2x 1 x
t 2 1
t 2 1
t 2 1
0 * 2
11
11 2t
2
2
2
t 4 2t 2 1 11t 2 11 22 4t t 4 9t 2 4t 12 0 t 1 t 3 t 2 4t 4 0
2 x 1 1 2 x 1 1 x 1
t 1
x; y 1;0
y 1 t
y 0
y 0
y 0
Suy ra : Với
Với
2 x 1 3 2 x 1 9 x 5
t 3
x; y 5; 2
y 2
y 1 t
y 2
y 2
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví t 4t 4 t 2 0 t 0 )
2
2
x x y y 2 4 x 1
Bài 23. Giải hệ phương trình sau :
2
2
x x y 2 y 7 x 2
Giải
y 1
x
y
4
y2 1
x xy y 1 4 x
u
x
Hệ :
. Đặt :
x , thì hệ trở thành :
2
2
2
y
1
x
x
y
2
y
2
7
x
2
x y 2
v x y
7
x
u v 4
u 4 v
u 1; v 3
u 4 v
2
2
2
v 2 4 v 7 0 v 2v 15 0
u 9; v 5
v 2u 7
2
2
2
y2 1
y2 y 2 0
u 9
u 1
1 y2 1 x
x
x; y 2;1 , 5; 2 * Với :
* Với :
. Hệ vô
v 5
v 3 x y 3
x y 3
x 3 y
nghiệm
x 3 y3 ln x 2 1 x ln y 2 1 y
(x, y R)
Câu 8 : ( 1điểm) Giải hệ phương trình:
x(x 1) (2 y). y 2 2y 3
x 3 y3 ln x 2 1 x ln y 2 1 y (1)
Câu 8: Giải hệ phương trình:
x(x 1) (2 y). y 2 2y 3 (2)
(1) x 3 ln
x 3 ln
f '(t) 3t 2
1
x 2 1 x y3 ln
y2 1 y
x 2 1 x ( y)3 ln
1
t2 1
( y)2 1 ( y)
Xét f (t) t 3 ln
t 2 1 t , D = R (0.25)
0, t R
f đồng biến trên R.
Vậy (1) f (x) f (y) x y
(0.25)
Thay vào (2) x 2 x (x 2). x 2 2x 3
2
(x x)(x 2) 0
(0.25)
2
2
2
2
(x x) (x 2x 3).(x 2)
2
(x x)(x 2) 0
2
x 1 7
x 2x 6 0
KL: nghiệm hpt: (1 7; 1 7);(1 7;(1 7)
(0.25)
x x2 4 y y 2 1 2
Câu 8 (0,75 điểm) Giải hệ phương trình
12 y 2 10 y 2 2 3 x3 1
x x2 4 y y 2 1 2
Giải hệ phương trình
12 y 2 10 y 2 2 3 x3 1
x x2 4 y y 2 1 2
12 y 2 10 y 2 2 3 x3 1
( x; y ) .
( x; y ) .
(1)
(2)
Ta có: (1) x x 2 4 (2 y ) 2 4 (2 y ) (*) .
Xét hàm số đặc trưng f (t ) t 2 4 t f '(t )
t
1
t t2 4
t t
t2 4
t2 4
t2 4
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: f ( x) f (2 y) x 2 y .
0.
Thay vào phương trình (2) ta được:
3x 2 5 x 2 2 3 x3 1
x 1 2 x 1 x3 1 2 3 x3 1 (**)
3
Xét hàm số g (t ) t 3 2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra
x 0
1
x 1 3 x3 1
. Vậy hệ có hai nghiệm là (1; ); (0;0) .
2
x 1
7 x 1 1 y x 1 1
Câu 7. Giải hệ phương trình
7 x 1 1 y
Giải hệ:
x 1 y 2 y x 1 13x 12
x 1 1
x 1 y 2 y x 1 13x 12
Điều kiện: x 1, x, y
PT 1 7 y x 1 y 1 x 1
1
2
y 1
(Do y 7 không là nghiệm
7 y
của phương trình)
Thay
x 1
y 1
vào (2) ta được phương trình:
7 y
2
2
y 1
y 1
y 1
y .
13.
y.
1
7 y
7 y
7 y
2
2
2
y 2 y 1 y y 1 7 y 13 y 1 7 y
2
y 4 y 3 5 y 2 33 y 36 0
y 1
y 1 y 3 y 2 5 y 12 0
y 3
8
Với y 1 x
9
Với y 3 x 0
Hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là ;1 , 0;3 .
9
8
Ta kí hiệu các phương trình trong hệ như sau:
x y 2 x 2 y 2 2 1
2 x 2 4 y 8 y xy 2 y 34 15 x 2
2 x 2
Điều kiện:
.
y 0
2 x y
.
2 x.y 2 y2 0
2 x 2 y
2 x y thay vào (2) ta được
1 2 x
+ Với
2
x 2 4 2 x 8 4 x 2 34 15 x 3 .
Đặt t x 2 4 2 x t 2 34 15x 8 4 x 2
t 0
.
t 2
Khi đó 3 trở thành 2t t 2
+ Với
30
2 17
x2 4 2 x 0
x
y
17
17
x 2 4 2 x 2
x
2
y
0
2 x 2 y . Vì y 0 2 y 0 mà 2 x 0 nên chỉ
Câu 9 (1,0 điểm).
Giải hệ phương
trình:
x y 2 x 2 y2 2
2 x 2 4 y 8 y xy 2 y
có thể xảy ra khi x 2 và y 0 thử vào (2) thấy thỏa mãn.
30
x 17
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm:
y 2 17
17
x 2
và
.
y 0
2
xy y 2y x 1 y 1 x
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
3 6 y 3 2x 3y 7 2x 7
Giải hệ phương trình …
Điều kiện: x 0, 1 y 6, 2x 3y 7 0 (*)
x 0
Nhận thấy
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
y 1 x
Khi đó, PT (1) x(y 1) (y 1)2
(y 1)(x y 1)
y 1 x
y 1 x
y 1 x
1
0
(x y 1) y 1
y 1 x
x y 1 0 y x 1 (do (*))
Thay vào PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x 7
ĐK: 4 / 5 x 5 (**)
3 5 x (7 x) 3( 5x 4 x) 0
4 5x x 2
3 5 x (7 x)
3(4 5x x 2 )
5x 4 x
0
1
3
(4 5x x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5x 4 x
x2 5x 4 0 (do (**)
x 1 y 2
(thỏa mãn (*),(**))
x 4 y 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (1; 2), (4; 5).
xy x 1 x3 y 2 x y
, ( x, y ).
Câu 8 (1.0 điểm). Giải hệ PT
2
2
3
y
2
9
x
3
4
y
2
1
x
x
1
0
xy x 1 x3 y 2 x y
, ( x, y ).
Giải hệ PT
2
2
3 y 2 9 x 3 4 y 2 1 x x 1 0
ĐKXĐ x .
Ta có xy x 1 x3 y 2 x y x3 x 2 y y 2 xy x y 0
y x
x y x 2 y 1 0
2
y x 1
Với y x 2 1 thay vào PT thứ 2 ta được
3 x 2 1 2 9 x 2 3 4 x 2 6
1 x x 2 1 0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y x thay vào PT thứ 2 ta được 3x 2 9 x 2 3 4 x 2 1 x x 2 1 0
3 2x 1 2
9 x 3 2 x 1 3 2 x 1 2
Xét hàm số f (t ) t t 2 2 ta có f '(t ) t 2 2
3x 2
3x 2 9 x 2 3 2 x 1
2
2
2
2
2
t2
t2 2
0 suy ra hàm số đồng biến.
1
1
1
Từ đó suy ra 3x 2 x 1 x . Vậy HPT có nghiệm x; y ; .
5 5
5
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hê ̣ phương trình:
x, y
2
3x 8 x 3 4 x 1 y 1
x 1
y 1
Điều kiện:
1
x3 x 2 x
y 2
x 1
3
x
x
x 1
x 1
x 1 y 1
y 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
y 1 y 1 .
Xét hàm số f t t 3 t trên
x
f
f
x 1
x3 x x 1
có f t 3t 2 1 0t
suy ra f(t) đồ ng biế n trên
x
y 1 . Thay vào (2) ta đươ ̣c 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
. Nên
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta có y
2
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
x2
1
x 1
Với x 3 2 3 y
5 2 13
41 7 13
43 3
y
. Với x
.
9
72
2
Các nghiê ̣m này đề u thỏa mañ điề u kiê ̣n.
KL: Hê ̣ phương trình có hai nghiệm x; y 3 2 3;
43 3
2
5 2 13 41 7 13
& x; y
;
.
9
72
2
2
x y y x
Bài 1. Giải hệ phương trình sau : x y
x 1
2 2 x y
Giải
x y 0
x y
2 x
2 x
x 1
x 1
x y y x
x y x y 1 0
2 2 0
2 2
x y
. x y
x 1
x 1
x y 1
x y 1
2 2 x y
2 2 x y
x 1
2 2 2 x 1 3 2 x 2 x 1
Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
Chú ý : Tại sao ta không đưa chúng về dạng : x 2 x y 2 y , sau đó xét hàm số y f (t ) t 2 t ?
2
2
1 x2
3
2 x xy 2 y 1
2
Bài 2. Giải hệ phương trình sau :
x2 y 2x 2 2x2 y 4x 1 0 2
2
Giải
1 2x
y 2
2
2
x
Từ (2) : x 2 y 2 x 2 x 2 y 2 x 1 0 x 2 y 2 x 1 0
*
xy 1 2 x
x
1 x 2
1 2 x
1 1
. Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp
2 x
giải phương trình mũ .Phương trình có dạng :
1 x2 1 2 x
2
b a
1 1 1 1
b a 2 2 1 2
2 2
x
x
x
2 x 2 x
b a
b
a
Do đó phương trình trở thành : 2b 2a 2b 2a
2 2
2
2
t
1
Xét hàm số : f t 2t f ' t 2t ln 2 0t R suy ra hàm f(t) đồng biến trên R . Do vậy để xảy
2
2
2
1 x 1 2x
ra f(b)=f(a) chỉ xảy ra khi a=b : 2 2 1 x 2 1 2 x
x
x
1 2.2
3
3
x 2 2 x 0 x 2 ( vì x khác 0 ) và y
x; y 2;
4
4
4
Chú ý : Vì ta sử dụng được phương pháp hàm số vì a,b thuộc R
Thay vào phương trình (1): 2
x2
2
x2
x 2 12 xy 20 y 2 0
Bài 3. Giải hệ phương trình sau
ln 1 x ln 1 y x y
Giải
2
2
x 2 y x 10 y 0
x 12 xy 20 y 0
.
ln 1 x ln 1 y x y
ln 1 x ln 1 y x y
1
1 t
Từ (2) : ln 1 x x 1 ln(1 y) y 1 f (t ) ln t t; f '(t ) 1
t 0 .
t
t
Hàm số đồng biến với mọi tthuoocj (0;1) và nghịch biến trên khoảng t>1 đạt GTLN tại t=1
Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích "
Nếu thay vào (2)
x=2y
x=2y
x=2y
x=2y
1 2 y
1 2 y y 1
:
y ,
2
e
ln
y
e
ln 1 2 y ln 1 y 2 y y
1 y
1 y
1 y
Xét hàm số : f ( y )
1
1
e y f '( y )
e y chỉ có nghiemj duy nhất : y=0
2
1 y
1 y
x 10 y
x; y 0;0 . Tương tự như trên ta cũng có nghiệm y=0 .
Nếu :
x y
x3 3x 2 y 3 3 y 2
Bài 4. Giải hệ phương trình sau :
x2
2
y 1
log y y 1 log x x 2 x 3
Giải
3
2
3
x 3x y 3 y 2 1
1 x3 3x 2 3x 1 y 3 3 y 3x 3
.
x2
2
y 1
log x
log y
x 3 2
x2
y 1
x 1 y 3 3 y 3 x 1 x 1 3 x 1 y 3 3 y *
3
3
Đặt : x-1=t suy ra (*) trở thành : t 3 y 3 3 t y 0 t y t 2 ty y 2 3 0
+/ Trường hợp chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .
x2
1
y 1
Thay vào (2) ta có : log y 1 log x 1 x 3 x 3 0 x 3 . Do đó nghiệm của hệ phương trình là :
(x;y)=(3;2).
2
+/ Trường hợp : t 2 ty y 2 3 0 x 2 1 x 2 1 y y 2 3 0
2
2
x 2 2 y x 2 y 2 y 2 0
2
2 x 2 y y 3 2 x 4 x 6
Bài 5 Giải hệ phương trình sau :
2
x 2 y 1 x 1
Giải
2
2
2
2
4
2 x 2 y x 2 y 3 x 2 3 0
2 x 2 y y 3 2 x 4 x 6
y x 2 x y yx x 0
.
2
2
2
x 2 y 1 x 1
x 2 y 1 x 1
x 2 y 1 x 1
-Trường hợp 1: y= x 2 , thay vào (2) : x 2 x2 1 x2 1 2 x t 2 x 2 t 2 x 0 t 2; t x
x2 1 2 x2 3 x 3
.
x 2 1 x x
-Trường hợp : 2 x 2 y 2 yx 2 x 4 0 y 2 yx 2 2 x 2 x 4 0
y x 4 4 2 x 2 x 4 3x 4 8 x 2 0 x R y 0
f (, y ) 2 x 2 y 2 yx 2 x 4 0 x, y . Phương trình vô nghiệm .
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,
3;3
* Chú ý : Ta còn có cách giải khác
- Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).
3
y y
- Chia 2 vế phương trình (1) cho x 0 1 2 2 x x3
x x
3
2
- Xét hàm số : f t 2t t f ' t 2 3t 0t R . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình
3
y
x y x 2 . Đến đây ta giải như ở phần trên
x
x
2
6
y
x 2y
y
Bài 6. Giải hệ phương trình sau :
.
x x 2 y x 3y 2
có nghiệm thì chỉ xảy ra khi :
Giải
x
2
x 2y 2y
x 2 y 3y 0
2 6 y y x 2 y
x 2 y y x 2 y 6 y 0
x x 2 y x 3y 2
x x 2 y x 3 y 2
x x 2 y x 3 y 2
y 0
x 2 y 2 y
.
2
x 2 y 4 y
Thay vào (2) x 2 y 4 y 2 5 y 2 2 y 4 y 2 5 y 2 4 y 2 7 y 2 0
- Trường hợp 1:
- Trường hợp :
y 0
y 0
x 2 y 3y
* .
2
2
x 2 y 9 y
x 9 y 2 y
Thay vào (2) : 9 y 2 2 y 3 y 9 y 2 2 y 3 y 2 9 y 2 5 y 9 y 2 5 y 2 0
y 1 x 9 2 7
2
t 9 y 5 y 0
t 2
2
2
9y 5y 4 0
4
16
4 264 88
2
2
y 9
2.
9y 5y 2
t t 2 0
9
91
9
9
3
88 4
Vậy hệ có nghiệm : x; y 7; 1 , ;
3 9
2 xy
2
2
x y x y 1
Bài 7 Giải hệ phương trình sau :
x y x2 y
Giải
2 xy
2
2
x y x y 11
a.
. Từ (2) viết lại :
x y x2 y 2
x y x y x2 x
x y
2
x y x2 x
Ta xét hàm số f(t)= t 2 t t 0 f ' t 2t 1 0 t 0 . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên
ta có :
x y x y x 2 x . (*)
2 x x2 x
2
2 xy
2
2
2
1 x 2 1 x 2 x 1 2 x 1 0
Thay vào (1) : x y 2 1 x x x
2
x
x
x 1 0
x 1 0
x 1
x 1 x 1 x 2 x 1 2 0 3 2
2
x 1**
x x x 3 0
x 1 x 2 x 3 0
x 1; y 2
x; y 1; 2 , 1;0
Thay vào (*) : y x 2 x
x 1; y 0
Chú ý : Các em có nhận xét gì không khi tôi giải như trên . Bây giờ tôi nêu thêm hai cách nữa để các em
kiểm nghiệm nhé :
Cách 2.
2 xy
2 xy
2
Đặt : x y u; xy v 1 x 2 y 2
1 x y 2 xy
1
x y
x y
2v
u 2 2v 1 u 3 u 2uv 2v 0 u u 2 1 2v u 1 0 u 1 u u 1 2v 0
u
x y 1
u 1
2
2
x y x y 2 xy 0
u u 2v 0
* Nếu x+y=1 thay vào (2) ta được :
x 1 y 0
1 x 2 1 x x 2 x 2 0
x; y 1;0 , 2;3
x 2 y 3
2
2
+/ Với x y x y 2 xy 0 x 2 y 2 x y 0 vô nghiệm vì x 2 y 2 0; x y 0
2
x2 1 8 y 2 12
3 2 y x
2 4
Bài 8. Giải hệ phương trinh :
2
2 x y 3 x y 7
2
2
Giải
2 1
x2 1 8 y 2
3 2 y x 1
2 4
Từ .
. - Điều kiện : x, y 0
2
3
7
x
y
2
x y
2
2
2
4
4
x
2 y
- Từ (1) : 2.2
3 x 2.2
3 2 y
- Xét hàm số : f (t ) 2.t 3t t 0 f '(t ) 8t 3 3 0 . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .
4
Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi : x 2 y x 4 y
- Thay vào (2) : 2
4
*
4
4
3
3
7
. Xét hàm số : f(t)= 2t t f '(t ) 4t 3 .2 0 .
2
2
2
1
y
x
4
y
3 7
4 1
5
x; y ;
- Nhận xét : f(1)=2+ . Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất .
2 2
5 5
5 y 1 x 4
5
x y s inx
e siny
Bài 9. Giải hệ phương trình :
x 0; 4
3 8 x 2 3 1 6 2 y 2 2 y 1 8 y
Giải
x y s inx
1
e siny
Từ :.
: x 0;
4
3 8 x 2 3 1 6 2 y 2 2 y 1 8 y 2
et sin t cost
e x s inx
ex
ey
et
f (t )
f '(t )
0t 0;
- Từ (1) : y
2
e
siny
s inx sin y
sin t
sin t
4
- Chứng tỏ hàm số f(t) luôn đồng biến . Phương trình có nghiệm khi x=y .
5y
3
2
5y
- Thay vào (2) : 3 8 x 2 3 1 6 2 x 2 2 x 1 8 x 3 8 x 2 3 1 6 2 x 2 2 x 1 8 x 1
9 8 x 2 3 36 2 x 2 2 x 1
9 8 x 1
8x 1
8x 1
2
2
2
3 8x 3 6 2 x 2 x 1
3 8x 3 6 2 x2 2 x 1
1
x
8 x 1 0
8
2
2
3 8 x 3 6 2 x 2 x 1 9
8 x 2 3 2 2 x 2 2 x 1 3
1
1 1
- Với x x; y ; .
8
8 8
8x2 3 3
2
- Ta có : với x 0; suy ra
8x2 3 2 2 x2 2 x 1 3
1
1
2
4
2 2 x
2
2 2
2
1 1
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x; y ;
8 8
x 1 x2 y 1 y 2 1
Bài 10. Giải hệ phương trình sau :
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
Giải
x 1 x 2 y 1 y 2 1 x 1 x 2 y 1 y 2
Từ :.
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
Xét hàm số : f (t ) t 1 t 2 f '(t ) 1
t
1 t2 t
1 t2
t2 1
Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để f(x)=f(-y) chỉ xảy ra x=-y (*)
- Thay vào phương trình (2) :
t t
1 t2
. ( nhân liên hợp )
0t R
2
2 x 2 6 x 1 3x
x
25 2
x 6 x 2 x 2 1 4 x 2 6 x 1 2 x 2 6 x 1
x
2
4
2 x 2 6 x 1 2 x
x 0
x 0
x 1; y 1
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 3 x 2
2
2
2 x 6 x 1 9 x
7 x 6 x 1 0
x 0
x 0
2
* Trường hợp : 2 x 2 6 x 1 2 x 2
2
2 x 6 x 1 4 x
2 x 6 x 1 0
3 11 3 11
3 11
3 11
. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),(
)
;
;y
2
2
2
2
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
Bài 11.
Giải hệ phwpng trình :
4 x 2 y 2 2 3 4 x 7
x
Giải
4 x 1 x y 3 5 2 y 0 1
Từ : .
(KA-2011)
2
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
2
- PT(1): 4 x3 x y 3 5 2 y 3 . Đặt t 5 2 y y
5 t2
t3 t
5 t2
3 t
2
2
2
t3 t
3
2x 2x t 3 t
2
3
- Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 2 1 0u suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để f(x)=f(t) chỉ xảy ra
- Khi đó (2) : 4 x3 x
khi : 2x=t 2 x 5 2 y 4 x 2 5 2 y 2 y 5 4 x 2 4
2
5 4 x2
3
3
- Thay vào (2) : g ( x) 4 x
2 3 4 x 7 0 : x 0; .Ta thấy x=0 và x= không là
4
4
2
4
4
5
3
nghiệm . g'(x)= 8 x 8 x 2 x 2
4 x 4 x 2 3
0x 0;
3 4x
3 4x
2
4
1
1
- Mặt khác : g 0 x là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được y=2.
2
2
2