59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN GIẢI CHI TIẾT 2 2 Câu 1: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   ; f '( x)  2 x  f ( x) , x  . . Giá trị của f (1) là 9 35 Lời giải Ⓐ. . 36 Chọn B 2 2 f '( x) f '( x) 1 Ⓑ. .  2x   dx   2 xdx   x2  C Cách 1: Ta có: f '( x)  2 x  f ( x)  2 2 3 f (x)  f ( x)  f ( x) 19 2 Ⓒ. . f (2)  36 9 1 1 1 2  f ( x)   2  C  .Vậy f ( x)    f (1)   . 2 1 2 3 x C Ⓓ. . x2  5 2 Cách 2: 2 f '( x) 2 2 f '( x) 1 f '( x)  2 x  f ( x)    2x   dx   2 xdx  3   3 2 2 f ( x) 1  f ( x) 1  f ( x)  1   2  f (1)  . 3 2 1 Câu 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   ; f '( x)  x  f ( x) , x  . . Giá trị của f (1) là 3 11 Lời giải Ⓐ. . 6 Chọn B 2 2 f '( x) f '( x) 1 x2 Ⓑ. . Cách 1 Ta có: f '( x )  x  f ( x )    x  dx  xdx   C     f ( x)  2  2 3 f (x) 2  f ( x)   2 Ⓒ. . 1 f (2)  9 3 1 2 1  f (1)   .  f ( x )    C  1 .Vậy f ( x)   2 2 7 3 x 1 x Ⓓ. . C 6 2 Cách 2: 2 2 3 1 2 f '( x)  x  f ( x)  x dx   xdx     3  f (1)  . 2 2 2 f ( x ) 3  f ( x) 1  f ( x)  1 1   2 f '( x) Câu 3: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   Ⓐ. 41 . 400 2 f '( x) 2 2 1 ; f '( x)  4 x3  f ( x) , x  . . Giá trị của f (1) là 25 Lời giải Chọn B Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1 . 10 391 Ⓒ. . 400 1 Ⓓ. . 40 Ⓑ. NĂM HỌC 2019 – 2020 f '( x) 2 Cách 1 Ta có: f '( x)  4 x 3  f ( x)   f ( x)   1 x C f (2)   f ( x) 1 25  C  9 .Vậy f ( x)   4  4x3   2 f '( x)  f ( x) 2 dx   4 x 3dx  1  x4  C f (x) 1 1  f (1)   . 10 x 9 2 Cách 2: 2 1 1 f '( x)  4 x  f ( x)   4x   dx   4 x dx  15    3  f (1)  . 2 2 f ( x) 1 10  f ( x) 1  f ( x)  1   2 f '( x) 2 3 3 2 1 và f '  x   x3  f  x  với mọi x  5 . Giá trị của f  1 bằng : 4 . 35 71 Ⓑ.  . 20 79 Ⓒ.  . 20 4 Ⓓ.  . 5 Lời giải Ⓐ.  Chọn D Ta có f '  x   x 3  f  x   f '  x 2 Cách 1: Từ (*) suy ra  f  x   1 4 x C 4   f  x   f '  x  f  x  f  2   1 5   2  x 3 (*). 2 dx   x 3dx   1 x4  C . f  x 4 1 1 1 4   C  1  f  x   4  f  1   . 5 4C 5 x 1 4 2 2 3 Chọn đáp án. Ⓓ. thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x   0 với Câu 5: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên mọi x  ; f '  x   e x . f 2  x  , x  và f  0   Ⓐ. Lời giải 2 . 9 Ⓑ. 2 f  ln 2    9 Chọn D Biến đổi f '  x   e . f x 2 . Chọn đáp án. Ⓒ. Ⓓ. f  ln 2   1 . Tính giá trị của f  ln 2  . 2  x  f '  x f 2  x  e  x ln 2  0 f '  x f 2  x ln 2 dx   0 ln 2 1 e dx   f  x  1  f  ln 2   x 1 1 3 2 . 3 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN f '  x  1  15 4 dx  x dx    f  1   . Cách 2: (*) suy ra      2   5 1  f  x  1  f  x  1 4   2 f  ln 2   HOCMAI.VN Câu 4: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 f '( x) 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ. f  ln 2   1 . 3 Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác định và liên tục trên   ; f '  x   x. f  x  , x  f  x   0, x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có 2 hoành độ x  1 của đồ thị  C  là Ⓐ. y  6x  30 . HOCMAI.VN Lời giải Chọn C f '  x Ⓑ. 1 x  2 f '  x 1 1 1 1 dx   x dx     f 1  6 . 2 3 f  x f  x 0 2 y  6x  30 . Biến đổi Ⓒ. y  36x  30 . Từ f '  x   x. f  x   f ' 1  1. f 1 Ⓓ. y  36x  42 Chọn đáp án. f 2  x 0   0  2  2  36 . Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  36  x  1  6  y  36x  30 . Ⓒ. . Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn   1 ; 1 , thỏa mãn f  x   0, x  và f   x   2 f  x   0 . Biết f  1  1 tính f  1 . Ⓐ. Lời giải f  1  e 2 . f  1  e . f  x  2 f  x  0  Ta có 3 1 Ⓒ. f  1  e 4 . Ⓓ.  1 f   x f  x f   x f  x 1 dx   -2dx  ln f  x  1 1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ. Chọn C  2 .  2 x 1 1  ln f 1  ln f  1  4 1  ln f  1  4  f  1  e 4 f  1  3 . Câu 8: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0   2 . Tính f 2  2  . Ⓐ. f 2  2  Lời giải 313 . 15 Ⓑ. f 2  2  332 . 15 Chọn B  Ⓒ. 324 . f 2  2  15 2 2 0 0   Ta có f   x  . f  x   x  x   f   x  . f  x  dx   x 4  x 2 dx 4  1 2 f  x 2 f 2  2 2  2 0  x5 x3     3   5 f 2 0 2  2 2 0 136 332  f 2  2  15 15 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ. f 2  2  323 . 15 Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  0 ;    , biết f   x    2x  4  f 2  x   0, f  x   0, x  1 . Tính f 1  f  2   f  3  . 15 Lời giải Ⓐ. Chọn D f   x    2x  4  f 2  x   0   f   x f 2  x dx  f   x f 2  x HOCMAI.VN 7 . 15 11 Ⓑ. . 15 11 Ⓒ. . 30 7 Ⓓ. . 30 , f 2   2 x  4 . 1   2x  4  dx   f  x   x 1 2  4x  C  f  x   1 1 . x  4x  C 2 Với f  2   1 1 1 1 .    C  3  f  x   2 15 15 12  C x  4x  3 1 1 1 7 Khi đó f  1  f  2   f  3      8 15 24 30 . Biết f 6  x  . f   x   12x  13 và f  0   2 . Khi đó Câu 10: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm Ⓐ. 2 . Ⓑ. 3 . Ⓓ. 1 . Chọn A Từ f 6  x  . f   x   12x  13   f 6  x  . f   x  dx   12x  3 dx  f 6  x  df  x   6x 2  13x  C  Suy ra f 7  x   42x2  91x  27 . f 7  x 7    6 x2  13x  C  C  f 0 2 27 . 7 Do đó phương trình f  x   3  f 7  x   2187  42x2  91x  2059  0  *  . Phương trình  *  có ac  0 nên có hai nghiệm trái dấu 1 Câu 11: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2x  3  f 2  x  và f  0    . Biết rằng tổng 2 a a f  1  f  2   ...  f  2017   f  2018   với a  và b  * và là phân số tối giản. Mệnh đề b b nào sau đây đúng a  1 . b a Ⓑ.  1 . b Ⓒ. Lời giải Ⓐ. a  b  1010 . Ⓓ. Chọn B Biến đổi: f   x    2 x  3  . f 2  x    f  x f 2  x  2x  3   f  x f 2  x dx    2 x  3  dx 1 f  0   1 1 2  x 2  3x  C  f  x    2  C  2 f  x x  3x  C b  a  3029 . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 4 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓒ. 7 . Lời giải TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020  f  x   1 1 .  x  3x  2  x  1 x  2  2 Khi đó:  a  1 1 1 1   f  1  f  2   ...  f  2017   f  2018       ....   b 2018.2019 2019.2020   2.3 3.4 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1  1009 .       ...           2018 2019 2019 2020  2020 2 3 3 4  2 2020  Câu 12: (Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017) Giả sử hàm số f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1, f  x   f   x  3x  1 với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓐ. Lời giải 4  f  5  5 . Chọn C Ⓑ. Ta có f  x   f   x  3x  1  2  f  3  3 . Ⓒ. 3  f  5  4 . Ⓓ. 1  f  5  2 .   d f  x 3 f  x 1 3 f  x f  x 1  3x  1  1   3x  1 2 d  3x  1  ln f  x   4 C 3 2 4  1  C    f  x  e 3 Khi đó f 1  1  e 3 Cách 2: Với điều kiện bài toán, ta có 5  1 f  x f  x 5 1 dx   3x  1 1 f  x f  x  5 dx   1 f  x f  x dx   dx 3x  1 . 2 2 3x  1  C  f  x   e 3 3 3 x 1  4 3 3 x 1 C . 4 3  f  5   e  3,79   3; 4  . 1 3x  1 df  x  f  x  LUYENTHITRACNGHIEM.VN f  x   f   x  3x  1  f  5 4 4 4  ln f  x  15   ln  3 3 f  1 3 4  f  5   f 1 .e 3  3,79   3; 4  Câu 13: Cho hàm số f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn x  2 xf ( x)  [f ( x)]2 , x [1; 4], f (1)  391 . 18 361 Ⓑ. . 18 381 Ⓒ. . 18 371 Ⓓ. . 18 HOCMAI.VN Với điều kiện a , b thỏa mãn bài toán, suy ra a  1009, b  2020  b  a  3029 Ⓐ. 3 . Giá trị f (4) bằng 2 Lời giải Chọn A Ta có Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 x  2 xf ( x)  [f ( x)]2  x(1  2 f ( x))  [f ( x)]2 [f ( x)]2  x 1  2 f ( x) f ( x)   x 1  2 f ( x) f ( x) 4  4 1  2 f ( x) 1 dx   xdx 1 14 1 3 14 391  1  2 f (4)  2   f (4)  3 18 Chú ý: 4 f ( x) 4 Nếu không nhìn được ra luôn  1 HOCMAI.VN  1  2 f ( x)  4 1  2 f ( x) dx  1  2 f ( x)  1  2 f (4)  2 thì ta có thể 1 sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). + Vi phân f ( x) 4  1 1  2 f ( x) 4 dx   1 df ( x) 1  2 f ( x) dx  1 4 1 2 d(1  2 f ( x))  1  2 f ( x) 1  2 f ( x )  1  2 f (4)  2    1 21 4 + Đổi biến Đặt t  1  2 f ( x)  t 2  1  2 f ( x)  tdt  f ( x)dx Với x  4  t  1  2 f (4) 1 2 f (4) Khi đó I   2 1 2 f (4) tdt t2  1  2 f (4)  2 t Câu 14: Cho hàm số f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f ( x)  2x f 2 ( x)  1, f (0)  0 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên [1; 3] bằng Ⓐ. 22 . Lời giải Ⓑ. Chọn D 4 11  3 . Ta có Ⓒ. 20  2 . f ( x). f ( x)  2 x f 2 ( x)  1  Ⓓ. 3 11  3 .   f ( x). f ( x) f 2 ( x)  1 f ( x). f ( x) f 2 ( x)  1  2x dx   2 xdx f 2 ( x)  1  x 2  C Với f (0)  0  1  C  f 2 ( x)  1  x2  1  f 2 ( x)  x4  2 x2  g( x) Ta có g( x)  4x3  4x  0, x [1; 3] Suy ra g( x) đồng biến trên [1; 3] Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 6 LUYENTHITRACNGHIEM.VN x  1  t  1  2 f (1)  2; TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Suy ra f ( x ) 0 g(1)  g( x)  f ( x)  g(3)  3  f ( x)  99  2 3  f ( x)  3 11 2  min f ( x)  3; max f ( x)  3 11 [1;3] [1;3] Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên [1; 3] bằng 3 11  3 Chú ý:  f ( x). f ( x) f ( x)  1 2 dx  f 2 ( x)  1  C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). f ( x). f ( x)  + Vi phân f ( x)  1 2  f ( x).df ( x) dx   1 2  d f 1   f 2 ( x)  1 2 f ( x)  1 2 2  ( x)  1  HOCMAI.VN Nếu không nhìn được ra luôn f 2 ( x)  1  C + Đổi biến f 2 ( x)  1  t 2  f 2 ( x)  1  tdt  f ( x). f ( x)dx Đặt t  Suy ra  f ( x). f ( x) f ( x)  1 2 dx   tdt  t C  t f 2 ( x)  1  C Câu 15: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và đồng biến trên R thỏa mãn f (0)  1;  f ( x)   e x . f ( x), x  R . 2 1 Tính tích phân  f ( x)dx bằng 0 Ⓐ. e  2 . Ⓑ. e  1 . Chọn B Ⓒ. e 2  2 . Ta có Ⓓ. e 2  1 .  f ( x)   f ( x)  e . f ( x)  2 2  ex  x f ( x) 1 2 x 2 f ( x) x x 2  ex   f ( x) x dx   e x dx f ()) 1    f ( x)  df ( x)   e dx  2 f ( x)  2e  C  C  0  1 Suy ra  0 1 x 2 f ( x)  e  f ( x)  e x 1 f ( x)dx   e x dx  e x  e  1 0 0   Câu 16: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  x   6 x2 . f x 3  Ⓐ. 2. . Ⓑ. 4. . Ⓒ. 1. . Ⓓ. 6. LUYENTHITRACNGHIEM.VN Lời giải 6 3x  1 1 . Tính  f  x  dx 0 Lời giải Chọn B   f  x   6x2 . f x3  1 1 1  3   I   f  x  dx  2   3x 2 . f x 3  dx  A  B 3x  1 3x  1  0 0 6     Gọi A  2  3x 2 . f x 3 dx. 0 Đặt t  x3  dt  3x2dx Đổi cận x  0  t  0; x  1  t  1 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 7 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 1 1 0 0 A  2  f  t dt  2  f  x  dx  2 I I  2I  B 1  I  B  6 0 1 1 1  1 dx  6   3x  1 2 . .d  3x  1  2.2. 3x  1  4. 0 3 3x  1 0 1   Câu 17: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 4 x. f x2  3 f 1  x   1  x2 . 1  f  x  dx HOCMAI.VN Tính 0  .. 4  Ⓑ. .. 6  Ⓒ. .. 20  Ⓓ. . 16 Lời giải Ⓐ. Chọn C   4 x. f x2  3 f 1  x   1  x2 1   1 1 1 0 0 0  2. 2 x. f x 2 dx  3 f 1  x  dx   1  x 2 dx  2 A  3B   1  x 2 dx  *  0 1   A   2 x. f x 2 dx Đặt t  x2  dt  2xdx ; x  0  t  0; x  1  t  1 0 1 1 0 0 A   f  t dt   f  x dx 1 B   f  1  x dx Đặt t  1  x  dt  dx; x  0  t  1, x  1  t  0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0  *   2 f  x dx  3 f  x dx   1 1 0 0 LUYENTHITRACNGHIEM.VN B   f  t dt   f  x dx 1  x 2 dx  5. f  x dx   1  x 2 dx     Đặt: x  sin t  dx  costdt , t    ;  ; x  0  t  0, x  1  t  2  2 2  1 2   1  x dx   2 0 0 1 Vậy   1  cos2t 1  1   1  sin t .cos tdt   dt  .  t  sin 2t  2  2 2  2  0 4 0 2 2   f  x dx  20 . 0 Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0; 2  thỏa mãn f  x   f  2  x   2x . 2 Tính  f  x  dx 0 Ⓐ. 4. . 1 .. 2 4 Ⓒ. . . 3 Ⓑ. Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 f  x   f  2  x   2 x   f  x dx   f  2  x dx   2xdx   f  x dx    f  2  x dx   2xdx Đặt: t  2  x  dt  dx Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 8 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 x  0  t  2, x  2  t  0 Ⓓ. 2. 2 2 2 0 0  f  2  x  dx   f  t  dt   f  x  dx 0 2 2 4 0 Do đó: 2  f  x  dx  x 2 0 2 Vậy:  f  x  dx  2 0  giá trị tích phân I  2  f  x  dx . 1 Ⓐ. I  5 . Lời giải 5 . 2 Ⓒ. I  3 . Chọn C Ⓓ. I  15 .  Ⓑ. I  HOCMAI.VN  2 3 Câu 19: Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn   1, 2  và thỏa mãn f  x   2xf x  2  3 f 1  x   4x . Tính   f  x   2 xf x 2  2  3 f  1  x   4 x 3 2 2  f  x  dx   2x. f  x 1 2 1  2 2 1 1  2 dx  3  f 1  x    4 x 3ds  15   . Đặt u  x  2  du  2xdx ; với x  1  u  1; x  2  u  2 . 2 2   2  2x. f x  2 dx  Khi đó 1 2  f  u  du  1 2  f  x  dx 1 . 1 Đặt t  1  x  dt  dx ; với x  1  t  2; x  2  t  1 . 2 f  1  x  dx  1 2  f  t  dt  1 2  f  x  dx  2  1 2 Thay  1 ,  2  vào   ta được 5  f  x  dx  15  1 2  f  x  dx  3 1   2 Câu 20: Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn   1, 2  và thỏa mãn f  x   x  2  xf 3  x . Tính giá trị tích phân I  2  f  x  dx . 1 14 . 3 28 Ⓑ. I  . 3 4 Ⓒ. I  . 3 Ⓓ. I  2 . Ⓐ. I  Lời giải Chọn B  f  x   xf 3  x 2  2 2   x  2   f  x  dx   xf 3  x dx  1 1 2 2  x  2dx  1 14  . 3 Đặt u  3  x  du  2xdx ; với x  1  u  2; x  2  u  1 . 2 2  2  2 1 1 Khi đó  xf 1  x dx   f  u  du   f  x  dx  2  2 1 2 1 1 2 Thay vào   ta được 2  1 f  x  dx  2 2 1 14 28 f  x  dx    f  x  dx   2 1 3 3 1 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 9 LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Khi đó TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020   1 Câu 21: Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0,1 và thỏa mãn f  x   xf 1  x2  3 f 1  x   . Tính x1 1 giá trị tích phân I   f  x  dx . 0 Ⓐ. I  9 ln 2 2 Lời giải Chọn B .  2 ln 2 9 1 1  1 x1  1 1 0 0   f  x  dx   xf 1  x 2 dx  3 f 1  x  dx   . 0 4 Ⓒ. I  . 3 3 Ⓓ. I  . 2 0 HOCMAI.VN Ⓑ. I   f  x   xf 1  x 2  3 f  1  x   1 dx  ln x  1  ln 2  0 x1 Đặt u  1  x  du  2xdx ; với x  0  u  1; x  1  u  0 . 2 1 Khi đó   2  2xf x  2 dx  0 1 1 1 1 f  u  du   f  x  dx 1 .  20 20 Đặt t  1  x  dt  dx ; với x  0  t  1; x  1  t  0 . 1 Khi đó  0 1 1 0 0 f  1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2  . Thay  1 ,  2  vào   ta được 1  f  x  dx  0 1 1 1 1 1 9 2 f  x  dx  3 f  x  dx  ln 2   f  x  dx  ln 2   f  x  dx  ln 2 .  20 20 9 0 0 1 I   f  x  dx  0 ab 2 với a, b, c  c và x3 x2  1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN   Câu 22: Cho hàm số y  f  x  và thỏa mãn f  x   8 x3 f x 4   0 . Tích phân a b ; tối giản. Tính a  b  c c c Ⓐ. 6. Lời giải Ⓑ. 4 . Chọn A Ⓒ. 4. Cách 1: (Dùng công thức - Dạng 2). Ⓓ. 10 . Biến đổi: f  x   8 x 3 f x 4    x3 x2  1      0  f  x   2 4x3 f x4   x3 x2  1 với A  1; B  2; C  0 . 1 Áp dụng công thức ta có:  0 f  x dx  1 1 1 x3 x3  dx  dx .  2 2 1   2  0 x 1 x 1 0 x  0  t  1 Đặt t  x2  1  t 2  x2  1  tdt  xdx; với  .  x  1  t  2 Khi đó Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 10 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 1 1 x2  f  x dx   0 x2  1 0 xdx  2  1 t2  1 .tdt  t 2  1  2 t3 t  1 .dt   t|1 3 2  2 2 ab 2  . 3 c Suy ra a  2; b  1; c  3  a  b  c  6 . Cách 2: Đổi biến số. x3 x2  1 1 1 0 0   1  0   f  x  dx  2  4 x 3 f x 4 dx   0 x3 x2  1 dx  0  *  . Đặt u  x4  du  4x3dx; với x  0  u  0; x  1  u  1. 1 Khi đó 1 1  4x f  x  dx   f udu   f  x  dx thay vào  *  , ta được: 3 4 0 0 1 1 1 0 0 0  f  x  dx  2 f  x  dx   HOCMAI.VN   Từ f  x   8 x3 f x4  0 x 3 x2  1 1 1 0 0 dx   f  x  dx   x3 x2  1 dx . x  0  t  1 Đặt t  x2  1  t 2  x2  1  tdt  xdx; với  .  x  1  t  2 Khi đó 1  0 1 f  x dx   0 x2 x2  1 xdx  2  1 t2  1 .tdt  t 2  t 2   1 .dt  1  2 t3  t|1 3 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2 2 ab 2  . 3 c 1 Câu 23: Cho hàm số liên tục trên đoạn   ln 2; ln 2  và thỏa mãn f  x   f  x   e x  1 . Biết ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3 với a, b  . Tính giá trị của P  a  b  ln 2 1 . 2 Ⓑ. P  2 . Ⓐ. P  Ⓒ. P  1 . Ⓓ. P  2 . Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức – Dạng 2 Từ f  x   f  x   ln 2 Suy ra   ln 2 1 . Ta có A  1; B  1; C  0 . e 1 f  x  dx  x ln 2 ln 2 1 dx 1 dx   x  x 1  1  ln 2 e  1 2  ln 2 e  1 Cách 2: Dùng công thức đổi biến số. ln 2 ln 2 ln 2 1 1 Từ f  x   f  x   x   f  x  dx   f  x  dx   x dx  *  . e  1  ln 2  ln 2  ln 2 e  1 Đặt u  x  du  dx; Với x   ln 2  u  ln 2; x  ln 2  u   ln 2. ln 2 Suy ra   ln 2 f   x  dx  ln 2   ln 2 f  u  du  ln 2  f  x  dx thay vào  *  , ta được:  ln 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 11 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 ln 2  2 f  x  dx   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 1 dx   f  x  dx   x dx .  x 2  ln 2 e  1  ln 2 e  1  ln 2 Đặt t  e x  dt  e xdx; Với x   ln 2  t  ln 2 ln 2 1 ; x  ln 2  t  2. 2 2 2 2 1 2 1 ex dt t dx   x x dx    ln Suy ra  x t 1 e 1 1 t  t  1  ln 2 e  1  ln 2 e    ln 2 . ln 2 1 1 1  f  x  dx  2 ln 2  a ln 2  b ln 3  a  2 ; b  0  P  2 a , b  ln 2   , f  0   0 và f  x   f   x   sin xcosx với 2  Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên HOCMAI.VN Khi đó  x  2 . Giá trị của tích phân  xf   x dx bằng 0  . 4 1 Ⓑ. . 4 Lời giải Ⓐ. Ⓒ.  4 . Cách 1:   Với f  x   f   x   sin xcosx ta có A  1; B  0; C  1. 2    2 Suy ra  0 1 2 1 f  x  dx   sin xcosx dx   .  110 4 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 1 Ⓓ.  . 4 Chọn D Cách 2: Từ     f  x   f   x   sin xcosx   f  x  dx   2  0 0 2 Đặt u   2  x  du  dx; x  0  u   2 Suy ra  0 2   2 ;x   2   1 f   x  dx   sin xcosxdx   *  2 2  0  2 u  0.  2   f   x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào  *  , ta được: 2  0 0  2  2 2  f  x  dx  0 2 1 1   f  x  dx   1 2 4 0 u  x du  dx  Đặt  ; dv  f   x  dx v  f  x   2   xf   x  dx  xf  x  0   2 0 2   f  x  dx  0     2 f     f  x  dx .  *  2 2 0 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 12 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020     f    f 0  0      2 Từ điều kiện f  x   f   x   sin xcosx      f    0 2 2  2  f     f 0  0     2  Thay  1 ,  2  vào  *  , ta được 2  xf   x  dx  0 1 4 x2 f 1  2x   f 1  2x   2 , x  x 1 3 . Tính tích phân I   f  x dx . 1 Ⓐ. Lời giải I  2  2 Chọn A .. Ⓑ. I  1   4 Đặt t  1  2x  1  2x  2  t và x  . . Ⓒ. I và thỏa mãn HOCMAI.VN Câu 25: (Diễn Châu – Nghệ An – Lần 3 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên 1   .. 2 8 Ⓓ. I   4 t 1 , khi đó điều kiện trở thành: 2 2  t 1  2  2 2   f t  f 2  t  t  2t  1  f x  f 2  x  x  2 x  1  . f t   f  2  t        t 2  2t  5     x2  2x  5   2  t 1  2  1   Cách 1: (Dùng công thức - theo góc nhìn dạng 2) . Với f  x   f  2  x   1 1 x2  2 x  1  dx  0, 429  2  . Chọn đáp án.Ⓐ.  2 x  1 1 x  2 x  5 2 3 Cách 2: (Dùng phương pháp biến đổi – nếu không nhớ công thức) x2  2x  1 x2  2x  1 Từ   , ta có: f  x   f  2  x   2   f  x dx   f  2  x dx   2 dx  2  . x  2 x  5 1 1 1 x  2 x  5 3 3 3 Đặt u  2  x  du  dx , Với x  1  u  3 và x  3  u  1 . 3 Suy ra  f  2  x dx  1 3 2  f  x dx  1 3  f  u du  1 3  f  x dx thay vào  , ta được: 1 x  2x  1 1 x2  2x  1  dx  f x dx  1 x2  2x  5 1   2 1 x2  2x  5dx  0, 429  2  2 . Chọn đáp án.A 3 2 3 3 Câu 26: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên \0 và thỏa mãn x2 f 2  x    2x  1 f  x   xf   x   1 với x  \0 và f  1  2 . Tính 2  f  x dx . 1 1 Ⓐ.   ln 2 2 . Lời giải Chọn A   Biến đổi x2 f 2  x   2xf  x   1  f  x   xf   x   xf  x   1  f  x   xf   x  . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 13 2 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN 3 Suy ra:  f  x  dx  x2  2 x  1 , ta có A  1; B  1 . x2  2x  5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN 3 Ⓑ.   ln 2 2 . ln 2 Ⓒ. 1  . 2 Ⓓ. 3 ln 2 .   2 2 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đặt h  x   xf  x   1  h  x   f  x   x. f   x  , Khi đó   có dạng: h 2  x   h  x   h  x  h  x 2  1  h  x  h  x 2 dx   dx   dh  x  h  x 2  xC   1  x  C. h  x  h  x   1 1 1 f 1 2  xf  x   1    2  1    C  0. xC xC 1 C 1 1 1 Khi đó xf  x   1    f  x    2  . x x x  1 2 f  x  dx    1 1 1 1  dx    ln 2 . Chọn đáp án.A 2 2 x x Câu 27: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4; 8  và f  0   0 với x   4; 8  . Biết rằng  f   x   1 1 4   4 dx  1 và f  4   4 , f  8   2 . Tính f  6  .  f  x  2 8 5 . 8 2 Ⓑ. . 3 3 Ⓒ. . 8 1 Ⓓ. . 3 Lời giải Ⓐ. Chọn D f   x 8  f  x Xét 2 4 8 dx   4 df  x  f 2  x  1 1     2  4  2 . f 8 f  4  f   x   k  dx  0 Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để   2   4  f  x  2 8 2 2 8 6 6 f  x 1  f  x 1 f  x 1 1   dx  0  2   2 dx   dx Suy ra k   thì   2  2  24 2 f  x 2 4  f  x 4 f  x 2 6  4 df  x  f 2  x dx 1  1 1 1 1  1 4  1  f  6   . Chọn đáp án. 3 f  4 f 6 f 6 Ⓓ. b Chú ý: b  f  x  dx 0 không được phép suy ra f  x   0 , nhưng  f  x  dx 0  f  x   0. 2k a a Câu 28: Cho hàm số f  x  liên tục trên   2 thỏa mãn f x3  x  x2  1 . Tính I   f  x  dx ? 0 Lời giải Chọn D   2  dt  3x  1 dx Đặt t  x  x   . 2 f t  x  1     3 Đổi cận: t  0  x3  x  0  x  0 và t  2  x3  x  2  x  1 . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 14 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN 8  f x  8 8  f  x  f  x   2 2  k  dx    dx  2 k dx  k dx  1  4 k  4 k 2   2 k  1 . Ta có:   2   4 2   4  f  x 4  f  x  4 f  x 4    8 6 Ⓐ. I   . 5 15 Ⓑ. I  . 16 6 Ⓒ. I   . 5 HOCMAI.VN 2 Suy ra: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓓ. I   15 . 16 NĂM HỌC 2019 – 2020 2 1 0 0    Casio Khi đó I   f  t  dt   x 2  1 3x 2  1 dx   16 15  Câu 29: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f x3  2x  2  3x  1 . Tính I  10  f  x  dx ? 1 Lời giải Chọn C   2  dt  3x  2 dx Đặt t  x  2 x  2   . f t  3 x  1     3 HOCMAI.VN 45 . 4 9 Ⓑ. I  . 4 135 Ⓒ. I  . 4 5 Ⓓ. I  . 4 Ⓐ. I  Đổi cận: t  1  x3  2x  2  1  x  1 và t  10  x3  2x  2  10  x  2 . Khi đó I  10  1 2   Casio f  t  dt    3x  1 3x 2  2 dx  1  135 4  2 thỏa mãn f x  1  2x  1, x  . Tính I   f  x  dx ? Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên 3 0 Ⓐ. I  2 . 5 . 2 Ⓒ. I  4 . Ⓑ. I  Ⓓ. I  6 . Lời giải Chọn A 2  dt  3x dx Đặt t  x 3  1   . f t  2 x  1     Đổi cận: t  0  x3  1  0  x  1 và t  2  x3  1  2  x  1 . 2 0 1   2x  1 3x dx 2 Casio  2 1   Câu 31: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f x3  3x  1  3x  2, x  5 . Tính I   xf '  x  dx . 1 5 . 4 17 Ⓑ. I  . 4 33 Ⓒ. I  . 4 Ⓓ. Ⓐ. I  I  1761 . Lời giải Chọn C 5 5   5 u  x du  dx   I  xf  x    f  x  dx  5 f  5   f 1   f  t  dt . Đặt  1  1 1 dv  f '  x  dx  v  f  x    2  dt  3x  3 dx Đặt t  x  3x  1   . f t  3 x  2     3 Đổi cận: t  1  x3  3x  1  1  x  0; t  5  x3  3x  1  5  x  1 . Suy ra: f  5   3.1  2  x  1 và f 1  3.0  2  x  0  . 1   Casio Khi đó I  5.5  2    3x  2  3x 2  3 dx  0 33 . Chọn 4   Câu 32: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;   thỏa mãn f x4  x 2  x  1  21 a c I   f  x  dx   ln với a, b, c , d  b d 2 * và 1 . Biết x1 a c , là các phân số tối giản. Tính b d Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 15 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Khi đó I   f  t  dt  TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 T  abc d. Ⓐ. T  243 . Lời giải Ⓑ. T  306 . Chọn B Ⓒ. T  312 . dt  4 x 3  2 x  1 dx  Đặt t  x 4  x 2  x  1   . 1  f t   x1  Ⓓ. T  275 .   Đổi cận: t  2  x4  x2  x  1  2  x  1; t  21  x4  x2  x  1  21  x  2  x  0  . 21 2 2 2 1 HOCMAI.VN 21 Ta có: I   f  x  dx   f  t  dt   1  5  4 x3  2 x  1 dx    4x 2  4x  6  dx . x1 x  1  1   2 2  4x3  28 3 28 243   2 x2  6 x  5ln x  1    5ln   ln . 2 3 32  3 1 3 Suy ra a  28; b  3; c  243; d  32  T  306 . Chọn  1  1 Câu 33: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;   thỏa mãn f  x   1   . Biết x  x  5 2 a I   f  x  dx   lnc với a, b, c  b 1 * và a là các phân số tối giản. Tính T  a  b  c . b Ⓐ. T  13 . Lời giải Chọn B Ⓒ. T  96 .   1  dt   1  2  dx  1  x   Đặt t  x   1   . x 1 f t     x Ⓓ. T  88 . LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ⓑ. T  69 . 1 5 1 5 Đổi cận: t  1  x   1  1  x  1; t   x   1   x  2  x  0  . x 2 x 2 5 2 5 2 1  1  1  1 1 1 Ta có: I   f  x  dx   f  t  dt   .  1  2  dx   .  1  2  dx    3 dx x  x  x x x  x  1 1 1 1 1 2 2 2 2  1  3   ln x  2    ln 2 . 2x  1 8  Suy ra a  3; b  8; c  2  T  13 . Chọn Câu 34: Cho hàm số f  x  liên tục trên 2 thỏa mãn f 3  x   f  x   x , x  . Tính I   f  x  dx . 0 Ⓐ. I  2 . 3 . 2 1 Ⓒ. I  . 2 Ⓑ. I  Lời giải Chọn D   Đặt y  f  x   x  y 3  y  dx  3y 2  1 dy . Đổi cận: x  0  y3  y  0  y  0 ; Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 16 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓓ. I  NĂM HỌC 2019 – 2020 x  2  y3  y  2  y  1 . 5 . 4 2 1  1    casio Khi đó I   f  x  dx   y 3 y  1 dy   3 y 3  y dy  0 2 0 Câu 35: Cho f  x  liên tục trên 0 5 4 thỏa mãn 2 f 3  x   3 f 2  x   6 f  x   x , x  . Tính tích phân 5 I   f  x  dx . 0 Lời giải Chọn B  HOCMAI.VN 5 . 4 5 Ⓑ. I  . 2 5 Ⓒ. I  . 12 5 Ⓓ. I  . 3 Ⓐ. I   Đặt y  f  x   x  2 y 3  3y 2  6 y  dx  6 y 2  6 y  6 dy . Đổi cận: x  0  2 y3  3y2  6 y  0  y  0 ; x  5  2 y 3  3y 2  6 y  5  y  1 . 5 1 0 0  1    casio Khi đó I   f  x  dx   y.6 y 2  y  1 dy  6  y 3  y 2  y dy  Câu 36: Cho f  x  liên tục trên 0 thỏa mãn x  f 3  x   2 f  x   1, x  5 2 . Tính tích phân I  1  f  x  dx . 2 Lời giải Chọn A   Đặt y  f  x   x   y 3  2 y  1  dx  3y 2  2 dy . Đổi cận: x  2   y 3  2 y  1  2  y  1 ; x  1  y3  2y  1  1  y  0 . Khi đó I  1  2 0   1   casio f  x  dx   y. 3 y 2  2 dy   3 y 3  2 y dy  Câu 37: Cho f  x  liên tục trên 1 0 7 4 thỏa mãn 2x  f 5  x   f  x   4  0, x  2 . Tính tích phân I   f  x  dx 1 . 3 . 4 1 Ⓑ. I  . 2 5 Ⓒ. I  . 3 4 Ⓓ. I  . 3 Ⓐ. I  Lời giải Chọn D   Đặt y  f  x   2x   y 5  y  4  2dx  5y 4  1 dy . Đổi cận: x  1  y5  y  4  1  y  1 ; x  2  y5  y  4  2  y  0 . 2 0   1   casio Khi đó I   f  x  dx   y. 5 y  1 dy   5 y 5  y dy  1 1 4 0 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 17 4 3 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN 7 . 4 7 Ⓑ. I  . 2 7 Ⓒ. I  . 3 5 Ⓓ. I  . 4 Ⓐ. I  TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 7 Câu 38: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn x  f 3  x   f  x   3  0 . Tính I   xf   x  dx . 1 Lời giải Chọn C Đặt: 7 7 7  du  dx 7 u  x    I  xf x dx  xf x  f x dx  7 f 7  f  1    1         f  x  dx   1    dv  f x dx v  f x       1 1    f 3  7   f  7   10  0  f  7   2  Từ x  f 3  x   f  x   3  0   3  f  1  1  f  1  f  1  2  0  HOCMAI.VN 5 . 4 51 Ⓑ. I  . 4 9 Ⓒ. I  . 4 3 Ⓓ. I  . 4 Ⓐ. I   Đặt t  f  x   x  t 3  t  3  0  x  t 3  t  3  dx  3t 2  t dt  x  1  1  t 3  t  3  t  1 Đổi cận  3  x  7  7  t  t  3  t  2 7  Khi đó 1 2   Casio f  x  dx   3t 2  t dx  1 7 Suy ra I  15   f  x  dx  15  1 51 4 51 9  4 4 Câu 39: Cho hàm số y  f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 biết f  x  . f 1  x   1 với 1 dx . 0 1  f  x 3 . 2 1 Ⓑ. . 2 Ⓒ. 1 . Lời giải Ⓐ. Ⓓ. 2 . LUYENTHITRACNGHIEM.VN x  0;1 . Tính giá trị của I   Chọn B Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) Theo Dạng 7: “Cho f  x  . f  a  b  x   k 2 dx ba  2k k  f  x b khi đó I   a dx 1 0 1   2.1 2 0 1  f  x 1 Khi đó: I   Cách 2: Đặt: t  1  x  dt  dx; f  x   1 1 dx  Khi đó I   0 1  f  x 0 dt 1 1 f t  1 và x  0  t  1; x  1  t  0 f t  1  0 f  t  dt 1  f t  1  0 f  x  dx 1  f  x 1 f  x  dx 1 dx 1    dx  1  I  2 0 1  f  x 0 1  f  x 0 1  2I   Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 18 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên phân I  2018  0 , ta có f  x   0 và f  x  . f  2018  x   1 . Giá trị của tích dx . 1  f  x Ⓐ. I  2018 . Lời giải Ⓑ. I  0 . Chọn C Ⓒ. I  1009 . Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) b khi đó I   a Khi đó: I  HOCMAI.VN Theo Dạng 7: “Cho f  x  . f  a  b  x   k 2 Ⓓ. I  4016 . dx ba  2k k  f  x 2018  0 dx 2018  0   1009 2.1 1  f  x Cách 2: Đặt: t  1  x  dt  dx; f  x   Khi đó I  2018  0  2I  2018  0 dx  1  f  x dx  1  f  x 2018  0 2018  0 1 và x  0  t  2018; x  2018  t  0 f t  dt 1 1 f t  f  x  dx 1  f  x   2018  2018  0 f  t  dt 1  f t   2018  0 f  x  dx 1  f  x dx  2018  I  1009 0 phân I  12 1  3  f  x dx . 2 14 . 3 2 Ⓑ. I  . 3 7 Ⓒ. I  . 6 7 Ⓓ. I  3 Ⓐ. I  Lời giải Chọn D Sử dụng công thức giải nhanh: b Theo dạng 7: " Cho f  x  . f  a  b  x   k 2 , khi đó: I   a Do đó: I  dx ba  ". 2k k  f  x 12   2  7 1 dx    2.3 3 2 3  f  x  12 Câu 42: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên tập R và thỏa mãn f  4  x   f  x  .Biết 3  x. f  x dx  5 . 1 3 Tính tích phân  f  x dx . 1 5 . 2 7 Ⓑ. . 2 Lời giải Ⓐ. Chọn A Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh: Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 19 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục trên tập R, ta có f  x   0 và f  0  . f 10  x   9 . Giá trị của tích TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 b 9 . 2 11 Ⓓ. . 2 Theo dạng 8: "Cho f  x   f  a  b  x  và I   x. f  x  dx . Thì ta có: Ⓒ. a 3 Do đó: b  f  x  dx  a  b ”. 2I a  f  x dx  1  3  2 . 2.5 5 1 Cách 2: Đặt t  4  x  dt  dx và x  1  t  3; x  3  t  1 . 3 3 3 3 1 1 1 1 Khi đó: 5   x. f  x dx    4  t  . f  4  t  dt    4  x  . f  4  x  dx    4  x  . f  x  dx . 3 3 3 1 1 1 1 5 2 4 Câu 43: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên tập R và thỏa mãn f  x   f  3  x   0 . Biết  x. f  x dx  2 . Tính HOCMAI.VN 3 Suy ra: 10   x. f  x dx    4  x  . f  x  dx  4  f  x  dx   f  x  dx  1 4 tích phân  f  x dx . 1 Lời giải Chọn C Sử dụng công thức giải nhanh: b Theo dạng 8: "Cho f  x   f  a  b  x  và I   x. f  x  dx . Thì ta có: a 4 Do đó: b  f  x  dx  a  b ”. 2I a  f  x dx  1  4  3 2.2 4 1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 3 . 2 2 Ⓑ. . 3 4 Ⓒ. . 3 3 Ⓓ. . 4 Ⓐ. 9   x  2 khi x  4 Câu 44: Cho hàm số f  x    . Tính tích phân I   f  x dx.  1  x khi x  4 121 . 6 163 Ⓑ. I  . 6 85 Ⓒ. I  . 6 223 Ⓓ. I  . 6 Ⓐ. I  Lời giải Chọn B 9 4 9 4 9 1 1 4 1 4 Ta có; I   f  x dx   f  x dx   f  x dx   xdx    x  2 dx   sin x Câu 45: Cho hàm số f  x    sin 2 x  11 . 8 3 Ⓑ. T  . 2 Ⓐ. T  khi x  khi x   2 . Biết  163 . 6   f  x dx  a  b  a, b   . Tính T  a  b. 4 2 Lời giải Chọn A   2    2 Ta có : I   f  x dx   f  x dx   f  x dx   sin xdx   sin xdx 2      4 4 2 4 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 20 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020  15 . 8 7 Ⓓ. T  . 2 Ⓒ. T   1  cos 2 x 1 1  dx   sin xdx   x  sin 2 x  2 4 2   2   4     cos x 2  4  2 5 1    a  b . 4 8 2 5 1 11 ; b  T  ab  . 4 8 8 2  x  1 khi x  0 Câu 46: Cho hàm số f  x    2 x . Tính tích phân I   f  x dx. khi x  0 e 1 Do a, b  a Ⓐ. 3e  1 . 2e 2 Ⓑ. I HOCMAI.VN I Lời giải 2 Chọn C Ta có: I  2 f  x dx  I   1 7e  1 . 2e 2 0  1 2 0 2 0 1 0 f  x dx  I   f  x dx   e 2 xdx  I    x  1dx  9e 2  1 . 2e 2 2 Ⓒ. I 9e 2  1 . 2e 2 Ⓓ. 11e 2  11 . I 2e 2  3 x Câu 47: Cho hàm số f  x     4  x 2 khi 1  x  2 2 . Tính tích phân I   f  x dx. 0 Lời giải Ⓐ. 5 Ⓒ. . 2 3 Ⓓ. . 2 Chọn A 1 2 1 2 Ta có: I   f  x dx   f  x dx   3x dx    4  x dx  x 3 2 0 1 0 6 x 2 Câu 48: Cho hàm số y  f ( x)   2  a  a x   1 khi x  0 khi x  0 1 0  x2    4x   2   2 1  1 5 7  . 2 2 4 và I   f ( x)dx . H ỏ i c ó t ấ t c ả b a o n h i ê u s ố 1 n g u y ê n a đ ể I  46  0 ? Ⓐ. 7 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 5 . Lời giải Chọn C 0 4 0 1 0 1 4   Ta có I   f ( x)dx   f ( x)dx   6x dx   a  a xdx  2 x 2 0 2 3 0 1   aa 2  x2 2 4  2  8a  8a 2 0 Khi đó I  46  0  2  8a  8a2  46  0  a2  a  6  0  2  a  3, a   a  {2; 1; 0;1; 2; 3} Vậy có 6 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 3   Câu 49: Tính tích phân I   max x3 ; 4 x2  3x dx . 0 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 21 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN 7 . 2 Ⓑ. 1. khi 0  x  1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN 117 . 2 707 Ⓑ. . 2 275 Ⓒ. . 12 119 Ⓓ. . 6 NĂM HỌC 2019 – 2020 Lời giải Ⓐ. Chọn C Trên đoạn 0 ; 3  : Xét x3  4x2  3x  x3  4x2  3x  0  x( x  1)( x  3)  0  x [0;1]do x  0 ; 3 3  x  [0;1]  x 3  4 x 2  3x   x 3 2 Vậy   max x ; 4 x  3x   2 3 2 x[ 0 ;3]  x  [1; 3]  x  4 x  3x  4 x  3x    1 3   Khi đó I   max x3 ; 4 x2  3x dx   x 3dx   4x 2  3x dx  0 0 1 khi x  [0;1] khi x  [1; 3] . 275 . 12 HOCMAI.VN 3  2 Câu 50: Tính I   min{ x; 3 2  x }dx . 0 Ⓐ. I  2 . 3 . 4 Ⓒ. I  1 . Ⓑ. I  Ⓓ. I  5 . 4 Lời giải Chọn D Trên đoạn 0 ; 2  :   x0; 2    x  [1; 2] Xét x  3 2  x  x3  2  x  x3  x  2  0  ( x  1) x2  x  2  0   x  [0;1]  x  3 2  x  x khi x  [0;1]  Vậy  .  min{ x; 3 2  x }   3 3 x[ 0 ;2 ] 2  x khi x  [1; 2] x  [1; 2]  x  2  x    2 1 0 0 Khi đó I   min{x; 3 2  x }  dx   xdx   2 1 3 Castio 2  xdx  5 . 4 và f  1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng Ⓐ. 4  ln15 . Lời giải Ⓑ. 2  ln15 Chọn C Ⓒ. 3  ln15 .   1 ln 2 x  1  C1 khi x   ;  2 2 2dx   Cách 1: Từ f '  x   .  f  x    2x  1 2x  1  1  ln 2 x  1  C2 khi x   ;    2   Ⓓ. ln15 .   1 ln 2 x  1  1 khi x   ;    C  1 2  f  0   1 0  C1  1   Ta có:  .   1  f  x   0  C  2 C  2 f 1  2  1     2  2  ln 2 x  1  2 khi x  ;   2      Khi đó: f  1  f  3   ln 3  1  ln 5  2  3  ln15 . 0 0  2 1 0 f 0  f  1  f x |  f ' x dx  dx  ln 2 x  1 |01  ln (1)          1   2x  1 3  1 1 Cách 2: Ta có:  3 3 2  f 3  f 1  f x |3  f ' x dx  dx  ln 2 x  1 |13  ln 5 (2)         1    2x  1  1 1 Lấy (2)  (1) , ta được: f  3  f  1  f  0   f 1  ln15  f  3   f  1  3  ln15 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 22 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN 1 2 Câu 51: (Đề tham khảo – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên R \   thỏa mãn f '  x   ; f 0  1 2x  1 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 52: (Toán học và tuổi trẻ - Số 6 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên R \1 thỏa mãn f '  x  Ⓐ. S  1 . Ⓑ. S  ln 2 . Ⓒ. S  ln 4035 . Chọn A Cách 1: Từ f '  x   1 dx ln x  1  C1 khi x   ;1  f  x    . x 1 x  1 ln x  1  C2 khi x   1;   Ta có: ln x  1  2017 khi x   ;1  f  0   2017 0  C1  2017 C  2017   1  f  x   .  0  C  2018 C  2018 f 2  2018 ln x  1  2018 khi x  1;       2  2   HOCMAI.VN Ⓓ. S  4 . 1 ; f  0   2017 và f  2   2018 . Tính S  f  3   f  1 x 1 Lời giải Khi đó: f  3   f  1  ln 2  2018   ln 2  2017   1 . 0 0  1 1 0 dx  ln x  1 |01  ln (1)  f  0   f  1  f  x |1   f '  x  dx   x 1 2  1 1 Cách 2: Ta có:  3 3  f 3  f 2  f x |3  f ' x dx      2     x 1 1 dx  ln x  1 |32  ln 2 (2)     2 2 Lấy (2)  (1) , ta được: f  3  f  1  f  0   f  2   0  S  f  3   f  1  f  2   f  0   1 1 Câu 53: (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên R \   thỏa mãn 3 2 3 ; f  0   1 và f    2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng 3x  1 3 Ⓐ. 3  5ln 2 Lời giải . Chọn A Ⓑ.   1 ln 3x  1  C1 khi x   ;  3 3 3dx   Cách 1: Từ f '  x   .  f  x    3x  1 3x  1  1  ln 3x  1  C2 khi x   ;    3   2  5ln 2 . Ⓒ. 4  5ln 2 . Ⓓ. 2  5ln 2 . LUYENTHITRACNGHIEM.VN f '  x    1  f 0  1 ln 3x  1  1 khi x   ;   0  C1  1 C  1 3    Ta có:   2  .   1  f  x   0  C  2 C  2 f  2  1   2  2  3 ln 3x  1  2 khi x  ;  3         Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 .   f 0   Cách 2: Ta có:   f  3    0 f  1  f  x |01   f '  x  dx  1 3 3 3 3 0 3  3x  1 dx  ln 3x  1 | 1 0 1  ln 1 (1) 4 2 2 f    f  x |32   f '  x  dx   dx  ln 3x  1 |32  ln 8 (2) 3 2 2 2x  1 3 3 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 23 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 2 Lấy (2)  (1) , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 3 Câu 54: Cho hàm số f  x  xác định trên  0;   \e , thỏa mãn f   x   1 1 , f e 2  3, f  2   ln 6 . x  ln x  1 e     1 Tính giá trị biểu thức f    f e 3 . e   Ⓐ. Lời giải Chọn A Ⓑ. 2ln 2 . Ta có f  x    f   x  dx   Ⓒ. 3ln 2  1 . Ⓓ. ln 2  3 . HOCMAI.VN 3  ln 2  1 . d  ln x  1 1 dx    ln ln x  1  C ln x  1 x  ln x  1 ln  ln x  1  C1 khix   e ;    f  x   ln  1  ln x   C2 khix   0; e       f e2  3 ln ln e 2  1  C1  3 C  3      1 Ta có   1  1 C2  ln 2  f  2   ln 6 ln  1  ln 2   C2  ln 6 e e       ln  ln x  1  3khix   e;    Do đó f  x    ln  1  ln x   ln 2khix   0; e  Câu 55: Cho hàm số f  x  xác định trên 1 f    f e 3  3  ln 2  1 e \2; 2 , thỏa mãn f   x   Ⓐ. P  3  ln Ⓑ. Lời giải 3 Chọn B . 25 Ta có f  x    f   x  dx   P  3  ln 3 . Ⓒ. P  2  ln 4 , f  3   0, f  0   1 và x 4 2 5 . 3 Ⓓ. 5 P  2  ln . 3 4 4dx x2 dx    ln C x2 x 4  x  2  x  2  2   x2 ln    C1 khix   2;     x2   2  x   f  x   ln    C2 khix   2; 2    x2   x2 ln    C3 khix   ; 2    x  2   1 ln    C1  2  f  3  2 C1  2  ln 5   5     C2  1 Ta có  f  0   1  C2  1  ln 5  C  0 C   ln 5 3  3  f  3   0   Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 24 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN f  3   2 . Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f  4  .   TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020   x2 ln    2  ln 5khix   2;   x  2      2  x  Do đó f  x   ln    1khix   2; 2  x  2      x2 ln    ln 5khix   ; 2    x  2  Suy ra P  f  4   f  1  f  4   3  ln 3 \2;1 , thỏa mãn f   x   Giá trị của biểu thức f  4   f  1  f  4  . Ⓐ. 1  ln 80 . 4 1 , f  3   f  3   0, f  0   . 3 x x2 2 Lời giải Ⓑ. Chọn B 1 1  ln 2 . 3 3 Ⓒ. Ta có f  x    f   x  dx   dx dx 1 x 1   ln C x x2  x  1 x  2  3 x  2 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 1  x 1   C1 khix   1;   1 4  ln  3  x  2  1  ln 2  ln  3 5  1  1  x   f  x    ln  .   C2 khix   2;1 3 x  2    Ⓓ. 1  x 1   ln  1 8   C3 khix   ; 2  1  ln .  3  x  2  3 5 1 1 2  1 Ta có f  3   f  3   0  ln 4  C3   ln  C1   0  C1  C3  ln10 3 3 3 5  f 0  1 1 1 1 1 1  ln  C2   C2   ln 2 3 3 2 3 3 3 1  x 1  1  C3  ln 10khix   1;    ln   3 3  x  2   1  1  x  1 1 Do đó f  x    ln    3  3 ln 2khix   2;1 3 x  2    1  x 1   ln    C3 khix   ; 2   3  x  2  1 5  1 1 1  1 1 1  Suy ra f  4   f  1  f  4    ln  C3    ln 2   ln 2    ln  C1  ln10  . 3 3 3 3 2  3  3 2  1 1   ln 2 3 3 1 Câu 57: (SỞ BẮC GIANG -2018) Cho hàm số f  x  xác định trên \1;1 và thỏa mãn f   x   2 , x 1  1 f  3   f  3   0 và f      2 HOCMAI.VN Câu 56: Cho hàm số f  x  xác định trên 1 f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  . 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 25 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓐ. Lời giải 3 P  ln  2 . 5 Ⓑ. Chọn C 3 P  1  ln . 5 Ⓒ. 1 x 1  2 ln x  1  C1 , x  1 1  1 1  1 .    dx  ln x  1  ln x  1  C   2  x  1 x  1  2  1 ln 1  x  C , x  1 2  2 x  1 Ⓓ. P 1 3 ln . 2 5  f   x  dx   x 2 1 1 dx   dx 1  x  1 x  1  f  3    1 1 ln 2  C1 ; f  3    ln 2  C1 , do đó f  3   f  3   0  C1  0 . 2 2  1  1 1 1 1 f     ln 3  C2 ; f     ln 3  C2 , do đó f     2  2  2 2 2 f  0   C2  1 ; f  4    1 f  2   f  2   0 và f      2 \1;1 thỏa mãn f   x   2 , x 1 2 1 f    2 . Tính f  3   f  0   f  4  được kết quả 2 Lời giải Chọn D Ta có  f   x  dx   x 2 2 2 dx   dx 1  x  1 x  1 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 4 5 6 Ⓑ. 1  ln 5 4 Ⓒ. 1  ln 5 6 Ⓓ. 1  ln 5 1 f    2  C2  1 . 2 1 3 1 3 ln , do đó f  0   f  4   1  ln 2 5 2 5 Câu 58: (SỞ PHÚ THỌ -2018) Cho hàm số f  x  xác định trên Ⓐ. 1  ln HOCMAI.VN 1 3 P  1  ln 2 5 . Ta có  x 1 ln x  1  C1 , x  1  1 1      d x .  ln x  1  ln x  1  C   1  x  x 1 x 1 ln  C2 , x  1  x  1 1 f  2   ln 3  C1 ; f  2   ln  C1 , do đó f  2   f  2   0  C1  0 . 3  1  1 1 1 f     ln 3  C2 ; f    ln  C2 , do đó f     3  2  2 2 Vậy f  3   f  0   f  4   ln 2  1  ln 1 f    2  C2  1 . 2 3 6  ln  1 5 5 Câu 59: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y      11    k , k   , biết F  0   1 ; F( )  0 . Tính P  F     F  với x  \   12   12  4  Ⓐ. 1 1  sin 2 x  .  Lời giải P  2 3. Chọn D Ⓑ. P  0 . Cách 1: Ⓒ. Không tồn tại P . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 26 Trang TÍCH PHÂN HÀM ẨN Ⓓ. P  1 . Ta có NĂM HỌC 2019 – 2020  f   x  dx   1  sin 2x dx   1 1  sin x  cos x  2 dx 1    5   ;    k 2  tan  x    C1 , x    4 4 1 2   4 .  dx    1      3   2  tan x  2 sin  x    C1 , x    ;    k 2  2 4 4     4 4      11 Khi đó P  F     F   12   12 HOCMAI.VN 1   1  5   1  1 tan  x    , x    ;    k 2   C  1 C   2 2 4 2 4 F  0   1   2 2 2   4      1 C  0 C   1  1 tan  x     1 , x     ; 3   k 2  F    0 1   4 4    2  1 2  4  2    2  1  1 1 7 1     2 tan 6  2    2 tan 6  2   1      Cách 2: 0  0    dx F 0  F   F x       1    12      12  1  sin 2 x    12    dx  F   F  11   F x   11   1  sin 2  12     2x   12 11  12     11 Lấy  2  –  1 ta được F     F   12   12 0 12 12      11   1  0  F   12   F  12      1  Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 27 Trang LUYENTHITRACNGHIEM.VN     11 casio  F   F  12   12   dx dx   F    F  0    1  sin 2 x   1  sin 2 x  11  