30 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao - Nguyễn Đình Sỹ

Bài tập bổ sung chương III- DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN I. DÃY SỐ 1. viết số hạng tổng quát của dãy số tự nhiên , mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 3 còn dư 2 . 2. Dãy số un được xác định bằng công thức quy nạp : u1  3, un1  2un . Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó và tích 4 số hạng đầu của dãy số . 3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bằng công thức quy nạp : 1 2 b. u1  a, un1  a  bun ( Với a,b là hằng số ) a. u1  3, un1  2  un 4. Các dãy số sau có đơn điệu không ? 1 a. un  2 n 1 2n  1 b. un  n 2 5. Với giá trị nào của a,b ,dãy số : un  1 c. un      2 n an  2 là một dãy số không giảm ,tăng?giảm? bn  1 6. Trong các dãy số sau , dãy số nào bị chặn ? Bị chặn trên hay bị chặn dưới ? a. un  2n  1 d. un  3.2 n 1 7. Cho dãy số : un  b. un  1 n2 1 e. un      3 c. un  1 n  n  1 n u  n 1 n2 ; vn  . Tính :  un  vn  ;  un .vn  ;  n  n n  vn  II. CẤP SỐ CỘNG . 1. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Tìm ba góc đó ? A 2 B 2 2. Chứng minh tam giác ABC có ba góc với : cot , cot , cot C theo thứ tự đó lập 2 thành một cấp số cộng thì ba cạnh theo thứ tự đó cũng tạo thành một cấp số cộng ? 3. Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 7 của một cấp số cộng có tổng bằng 92, số hạng thứ tư và số hạng thứ 11 có tổng bằng 71 . Tìm 4 số hạng đó ? 4. Một cấp số cộng có 11 số hạng . Tổng các số hạng đó bằng 176 . Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số đó ? 5. Bốn số hạng lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó ? 6. Năm số lập thành một cấp số cộng . Biết tổng S , tích P của chúng . Tìm năm số đó 7. Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 20, tổng các ngịch đảo của chúng bằng 25 . Tìm bốn số đó ? 24 8. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây , hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây , v.v...Hỏi có bao nhiêu hàng ? 9. Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n+1 lần một nửa số hạng thứ n III. CẤP SỐ NHÂN 1. Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất u1  2 , công bội q bằng 3, và 5 số hạng . Tìm số hạng cuối cùng và tổng của 5 số hạng đó ? Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 0985.270.218 Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP 2. Trong một cấp số nhân có 9 số hạng , biết số hạng đầu u1  5 và số hạng cuối u9  1280 . Tìm công bội q và tổng S các số hạng ? 3. Tìm số hạng của một cấp số nhân : a. Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 , số hạng cuối là 243 ? b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1 ? c. Trong cấp số nhân , cho q=1/4 , n=6, và S=2730 . Tìm u1 , u6 . 4. Tìm bốn góc của một tứ giác , biết các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối bằng 9 lần góc thứ 2 ? 5. Tổng ba số hạng của một cấp số nhân là 248 , hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 192. Tìm ba số hạng đó ? 6. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một cấp số nhân thì công bội của cấp số đó ắt phải nằm giữa 1 2   5  1 và 1 2   5 1 . 7. Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật , biết rằng thể tích của chúng bằng a 3 , diện tích toàn phần của nó bằng 2ma 2 và các cạnh lập thành một cấp số nhân ? IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP 1. Giả sử x1 , x2 ,...xn  R  x1.x2 ....xn  1 . Chứng minh x1  x2  ...  xn  n a n  bn  a  b  *  2. Chứng minh :  với : a  0, b  0, n  N 2  2  n 3. Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ? n2  1 a. un  n b. un   1 sin n 1 1 n 4. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ? 5. Cho phương trình : x4  3x2   24  m x  26  n  0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành một cấp số cộng ? 2 6. Tìm m để phương trình : x 4   3m  5  x 2   m  1  0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ? 7. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 600 ? 4 9 8. Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . 9. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ? 10. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ? 11. Tính tổng : 2 2 1 1 1 S=  2     4    ...   2n  n  2  4 2    2 12. Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số : Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ Trang 2 ĐT : 0985.270.218 Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP a 5x 1  51 x , , 25x  25 x lập thành một cấp số cộng ? 2 13. Chứng minh rằng dãy số : an  2.3n lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ? 14. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :  a  c   b  c   b  d    a  d  2 2 2 2 15. Giả sử các số : 5x-y,2x+3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số : 2 2  y  1 , xy  1,  x  1 lập thành cấp số nhân . Tìm x,y ? 16. Cho một cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 . Chứng minh rằng nếu : u1u4  u2u3  6 thì biểu thức A=  x  u1  x  u2  x  u3  x  u4   9 có nghĩa với mọi x ? 17. Chứng minh rằng : Nếu 0  N  1 thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là : log a N log a N  log b N  log c N log b N  log c N  a, b, c  1 18. Chứng minh rằng , nếu log x a, log y b, log z c tạo thành một cấp số cộng ( theo thứ tự đó ) thì : log b y  2 log a x log c z  0  x, y, z, a, b, c  1 . log a x  log c z 19. Cho ba số : x,3,y lập thành một cấp số nhân và x 4  y 3 . Tìm x,y và công bội q của cấp số đó ? 20.Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng ( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy của một cấp số cộng . Tìm ba số đó ? 21.a. Tính tổng của n số hạng : 3  33  333  ... b. Tìm x để ba số : ln 2, ln  2 x  1 , ln  2 x  3 lập thành một cấp số cộng ? 22. Tìm bốn số biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng . Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng của hai số ở giữa là 12 ? 23. Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 , và tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ? 24. Cho tam giác ABC có A  900 còn a,b, 6 ,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số 3 nhân . Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì ? 25. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . A 2 Hãy chứng minh rằng : cot .cot C  3. 2 26. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tagA.tangB=6 và tangA.tangC=3 . Hãy chứng tỏ : tangA,tgB,tgC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ? A 2 B 2 27. Tam giác ABC có : cot , cot , cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . 2 Hãy chứng minh rằng ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ? Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ Trang 3 ĐT : 0985.270.218 Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP 28. Tam giác ABC có : cot A, cot B, cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng . Hãy chứng minh rằng : a 2 , b2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ? 29. Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó ? 30. Tam giác ABC có các cạnh a,b,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng khi đó công sai của cấp số cộng được tính bởi công thức : d 3  C A r  tg  tg  2  2 2 V. HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 : Giả sử x1 , x2 ,...xn  R  x1.x2 ....xn  1 . Chứng minh x1  x2  ...  xn  n Giải . Chứng minh bằng quy nạp . - Với n=1 : x1  1 . Mệnh đề đúng . - Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k>1 ).  x1  x2  x3  ....  xk  k  x1x2 x3 ..xk  1 * Nếu với mọi xk  1 thì hiển nhiên : x1  x2  ..  xk  xk 1  k  1 . Nếu trong k+1 số có ít nhất một số lớn hơn 1 , thì ắt phải có số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát , giả sử xk  1 và xk 1  1 , khi đó ta có : 1  xk 1  xk 1  0  xk  xk 1  1  xk xk 1 1 Do đó :  2 x1  x2  ...  xk  xk 1  x1  x2  ...  xk 1  xk xk 1  1 Theo giả thiết quy nạp , ta suy ra từ k số ở vế phải : x1  x2  ...  xk 1   xk xk 1   k 3 Từ (2) và (3) suy ra : x1  x2  ...  xk  xk 1  k  1 . a n  bn  a  b  *  Bài 2. Chứng minh :  với : a  0, b  0, n  N 2  2  HƯỚNG DẪN n - Với n=1 . Mệnh đề đúng a k  bk  a  b   - Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( Với k>1 ) :   2  2  k 1 k 1 a k 1  b k 1  a  b   - Ta phải chứng minh :  2  2  ab Thật vậy , ta nhân hai vế của (1) với , ta có : 2 a k  bk a  b  a  b  a  b  a  b   .    .  2 2 2  2   2  k a k 1  a k b  ab k  b k 1  a  b     4  2  Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ Trang 4 k 1 k 1  2 ĐT : 0985.270.218 Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP Nhưng với a>0,b>0 thì :  a k  b k   a  b   0  a k 1  b k 1  a k b  ab k a k 1  a k b  ab k  b k 1 a k 1  b k 1  4 2 Cho nên :  3 So sánh (2) và (3) ta được điều phải chứng minh . Bài 3.Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ? a. un  n2  1 n b. un   1 sin n 1 1 n HƯỚNG DẪN a. un  n2  1 1 n2  1 2 n2 .1  n  . Ta thấy : un    2 . Cho nên đây là một dãy số tăng , n n n n bị chặn dưới bởi m=2 . ( Nhưng không bị chặn ). b. un   1 sin n 1 1 n 1 1 n  sin  . Vì biểu thức trong dấu móc luôn dương - Xét hiệu : un1  un   1 sin n  n 1 với mọi thuộc N .cho nên un1  un  0 , khi n chẵn , còn un1  un  0 khi n là lẻ . Vì vậy * dãy số đã cho không tăng và cũng không giảm ( Không đơn điệu ). 1 n Mặt khác : 1  sin  1  1 1 n 1  un  1 1 n 1   1  un  1n n M  1 . Dãy số bị chặn . m  1 Có nghĩa là : un  1;1   Bài 4. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ? HƯỚNG DẪN Theo đầu bài ta có : u2  u1  7  u3  u2  14  u4  u3  21 ....................  un  un 1  7  n  1 Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược : n  n  1 1 2 n  n  1  n2  n  10100  0  n  101 . Đặt : un  35351  1  35351  1  7 2  un  u1  7  14  21  ...  7  n  1  7 Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy sô . Bài 5. Cho phương trình : x4  3x2   24  m x  26  n  0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành một cấp số cộng ? HƯỚNG DẪN Vì 3 nghiệm phân biệt : x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt : Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ Trang 5 ĐT : 0985.270.218 Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP x1  x0  d , x2  x0 , x3  x0  d  d  0 . Theo giả thiết ta có : x3  3x2   24  m x  26  n   x  x1  x  x2  x  x3    x  x0  d  x  x0  x  x0  d   x3  3x0 x 2   3x02  d 2  x  x03  x0 d 2  x  Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ : 3x0  3  x0  1  2  x  1  2  3x0  d    24  m   3  d 2  24  m   0 m  n  3 1  d 2  26  n 2  x  x d   26  n  0  0 Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng . 2 Bài 6.Tìm m để phương trình : x 4   3m  5  x 2   m  1  0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ? HƯỚNG DẪN Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình : x1 , x2 , x3 , x4 . Đặt x2  y  0 , ta được phương trình :  y 2   3m  5  y   m  1  0 2 1 Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : 0  y1  y2 , Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là : x1   y2 , x2   y1 , x3  y1 , x4  y2 ( Rõ ràng : x1  x2  x3  x4 ) Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :  x3  x1  2 x2  x4  x2  2 x3  y1  y2  2 y1  3 y1  y2  9 y1  y2 * Áp dụng vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :    3m  5 2  4  m  12  0 m  5     S  y1  y2  10 y1  3m  5   25  n   19 2 2  P  y1 y2  9 y1   m  1 Bài 7. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 600 ? HƯỚNG DẪN Giả sử ba cạnh của tam giác ABC thứ tự là a,b,c . Không giảm tính tổng quát , ta giả sử 0