17 dạng toán hình học giải tích phẳng Oxy

MỤC LỤC PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài toán 1. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau Bài toán 2. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng Bài toán 3. Kiểm tra tính cùng phía, khác phía với một đường thẳng Bài toán 4. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau Bài toán 5. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác Bài toán 6. Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác Bài toán 7. Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY Bài toán 1. Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho trước (IM=R không đổi) Bài toán 2. Tìm M thuộc đường thẳng d và cách đường thẳng d’ một khoảng không đổi Bài toán 3. Tìm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB là tam giác đăc biệt (vuông, cân, hai cạnh có mối quan hệ về độ dài, ….) Bài toán 4. Tìm M thuộc đường thẳng d và thoả điều kiện cho trước (mở rộng của bài toán 1, 2, 3) Bài toán 5. Tìm M dựa vào hệ thức vectơ   Bài toán 5.1 Tìm toạ độ M lien hệ với hai (ba) điểm cho trước qua một hệ thức vectơ MA  k MB Bài toán 5.2 Tìm toạ độ hai điềm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng d1 , d 2 và lien hệ với điểm thứ ba cho trước qua hệ thức vectơ Bài toán 6. Viết phương trình đường thẳng TRƯỜNG HỢP 1. Bài toán không cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương) Bài toán 6.1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 điểm, cách một điểm cho trước một khoảng không đổi Bài toán 6.2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 điểm, tạo với đường thẳng cho trước một góc không đổi TRƯỜNG HỢP 2. Bài toán cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương) Bài toán 6.3 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và d cách điểm cho trước một khoảng không đổi Bài toán 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và thoả mãn điều kiện cho trước Bài toán 7. Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực trong tam giác. Bài toán 8. Tìm điểm dựa vào phân giác trong (ngoài) của tam giác Bài toán 9. Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình chính tắc của (E) Bài toán 10. Cho hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng AB PHẦN 4: SÁNG TẠO VÀ SỰ PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TUÝ PHẦN 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP Page 1 SƠ ĐỒ TỔNG HỢP KIẾN THỨC Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Page 7 Page 8 Page 9 Page 10 Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 16 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 17 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 18 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 19 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 20 PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN 1. BÀI TOÁN 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng cắt nhau sau:  x  1  2t  x  2  3t và   y  3t  y  1  t a) x  y  4  0 và 2x  y  5  0 b)   x  1 t  y  7  2t c) x  y  3  0 và  d) 2 x  3 y  7  0 và x 5 y 4  3 5 2. BÀI TOÁN 2. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng Ví dụ: Tìm điểm M ' đối xứng với điểm M 1;2  qua đường thẳng  : x  3 y  5  0 . 3. BÀI TOÁN 3. Kiểm tra tính cùng phía, khác phía của hai điểm với một đường thẳng. Ví dụ: Cho đường thẳng  : x  3 y  5  0 . Xét vị trí cùng phía, khác phía của các cặp điểm sau với đường thẳng  .a) A 1; 2  và B  1; 3 b) C  2;3 và D  2; 1 4. BÀI TOÁN 4. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ: Cho hai đường thẳng 1 : 3x  4 y  1  0 và  2 : 5 x  12 y  2  0 . Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường 1 và  2 . 5. BÀI TOÁN 5. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác. Ví dụ: Cho tam giác ABC với A  3;0  , B 1;1 , C  1;8  . Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A . 6. BÀI TOÁN 6. Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác. Ví dụ: Cho tam giác ABC với A 1;5  , B  4;5  , C  4; 1 . Xác định tọa độ chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A . 7. BÀI TOÁN 7. Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Ví dụ: Cho tam giác ABC với A  2;6  , B  3; 4  , C  5;0  . Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 21 PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY Bài toán 1. Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho trước (IM=R không đổi) C. VÍ DỤ GỐC: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I  5;2  và đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MI  5 .  1 17  Cách 1: M  d  M  t  ;IM  5  t  M . ĐS: M 1;5  hoặc M  ;  . 5 5  Cách 2: MI  5 → M thuộc đường tròn tâm I bán kính R=5  M là giao điểm của đường thẳng và đường tròn → M. 1. CÁCH RA ĐỀ 1: Ví dụ 1 (D – 2006): C  : x2  y 2  2 x  2 y  1  0 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn và đường thẳng d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn  C  , tiếp xúc ngoài với đường tròn  C  . HD: Điểm M thuộc đường thẳng d  M  t  . Từ (C)  tâm I và bán kính R. ta có IM=3R  M. ĐS: M 1; 4  hoặc M  2;1 . Ví dụ 2 (A – 2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  2  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  0 . Gọi I là tâm của  C  , M là điểm thuộc  . Qua M Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 22 kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 . Hướng dẫn: Từ (C)  tâm I và bán kính R. Từ tứ giác MAIB có diện tích bằng 10  diện tích tam giác MBI. Có BI  MB, mà M  t   M. ĐS: M  2; 4  hoặc M  3;1 . 1  Ví dụ 3 (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng 2  AB là x  2 y  2  0 và AB  2 AD . Tìm tọa độ các điểm A, B, C , D biết rằng A có hoành độ âm. Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB  B  t  và I là trung điểm BD  D  t  . Ta có AD=2d(I,AB)  t. Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH. Tính được IA=IB, từ đó  A, B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm I, bán kính R=IA. ĐS: A  2;0  , B  2; 2  , C  3;0  , D  1; 2  . Ví dụ 4 (B – 2009 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  1;4  và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 23 Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC  BC  AB  AC . Ta có B, C là giao điểm của  3 5   11 3  đường thẳng với đường tròn tâm A bán kính AB. ĐS: B  ;   , C  ;  hoặc  2 2  2 2  3 5   11 3  C  ;   , B ;  .  2 2  2 2 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  3  0 , điểm M  1;2  thuộc đường thẳng AB , điểm N  2; 2  thuộc đường thẳng AD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , có AB  AD  CD , điểm B 1;2  , đường thẳng BD có phương trình y  2 . Biết đường thẳng  : 7 x  y  25  0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M , N sao cho  . Tìm tọa độ điểm D BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của MBC biết D có hoành độ dương. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 24 Ví dụ 7. (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử  11 1  M  ;  và AN có phương trình 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A .  2 2 Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 3 x  y  5  0 ,  2 : x  2 y  3  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  6 x  10 y  9  0 . Gọi M là một điểm thuộc đường tròn  C  và  N  là điểm thuộc đường thẳng 1 sao cho M và N đối xứng với nhau qua  2 . Tìm tọa độ điểm N .   Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A 1;  3 có góc  ABC  300 , đường thẳng  : x  y  2  0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ các điểm B và C , biết B có hoành độ là một số hữu tỉ. Ví dụ 10. Cho hình thoi ABCD , ngoại tiếp đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  18  0 . Biết AC  2BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng  : 2 x  y  5  0 . Viết phương trình cạnh AB . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 25 Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có E , F lần lượt thuộc các đoạn AB, AD sao cho EB  2 EA, FA  3FD, F  2;1 và tam giác CEF vuông tại F . Biết rằng đường thẳng x  3 y  9  0 đi qua hai điểm C , E . Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương. Ví dụ 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy   450 . Đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3 x  y  0 và lớn CD và BCD x  2 y  0 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm B có tung độ dương. Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD  3BC . Đường thẳng BD có phương trình x  2 y  6  0 và tam giác ABD có trực tâm là H  3;2  . Tìm tọa độ các đỉnh C và D . Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , điểm B 1;1 . Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM .BC  75 . Phương trình đường thẳng AC : 4 x  3 y  32  0 . Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC bằng 5 5 . 2 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 26 2 2 Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn T  :  x  1   y  2   5 và đường thẳng  : x  y  2  0 . Từ điểm A thuộc  kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với T  tại B và C . Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 8. 2. CÁCH RA ĐỀ 2: Ví dụ 1 (B – 2005): Cho hai điểm A  2;0  và B  6;4  . Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C  đến điểm B bằng 5. 2 Ví dụ 2 (B – 2009 – CB): Cho đường tròn  C  :  x  2   y 2  4 và hai đường thẳng 5 1 : x  y  0 và  2 : x  7 y  0 . Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn  C1  ; biết đường tròn  C1  tiếp xúc với các đường thẳng 1 ,  2 và tâm K thuộc đường tròn  C  . Ví dụ 3 (B – 2012 – CB): Cho đường tròn  C1  : x 2  y 2  4,  C2  : x 2  y 2  12 x  18  0 và đường thẳng d : x  y  4  0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  C2  , tiếp xúc với d và cắt  C1  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d . Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn T  có tâm I  0;5  . Đường thẳng AI cắt đường tròn T  tại điểm M  5;0  với M khác A. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 27  17 6  Đường cao kẻ từ đỉnh C cắt đường tròn T  tại N   ;   với N khác C. Tìm tọa độ  5 5 các đỉnh của tam giác ABC , biết B có hoành độ dương. Ví dụ 5: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 . Viết phương trình chính tắc của elip  E  có độ dài trục lớn bằng 8 và  E  cắt  C  tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của hình vuông 2 2 Ví dụ 6. (D – 2013 – NC): Cho đường tròn  C  :  x  1   y  1  4 và đường thẳng  : y  3  0 . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của  C  , các đỉnh N và P thuộc  , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc  C  . Tìm tọa độ điểm P . 2 2 2 2 Ví dụ 7. Cho đường tròn  C  :  x  4   y  1  2 và  C  :  x  y    y  5   8 . Cho AB là một đường kính thay đổi của đường tròn  C ' và M là một điểm di động trên đường tròn  C  . Tìm tọa độ các điểm M , A, B sao cho diện tích của tam giác MAB lớn nhất. 3. CÁCH RA ĐỀ 3: Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 28 Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và điểm A  4;2  . Gọi d là tiếp tuyến tại A của  C  . Viết phương trình đường thẳng  đi qua tâm I của  C  và  cắt d tại M sao cho tam giác AIM có diện tích bằng 25 và M có hoành độ dương. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, đường thẳng đi qua A và B có phương trình x  y  0 . Tìm tọa độ trung điểm M của AC biết I  2;1 là trung điểm của BC .   900 . Biết M 1; 1 là trung Ví dụ 3 (B-2003): Cho tam giác ABC có AB  AC , BAC 2  điểm cạnh BC và G  ;0  là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B , C . 3   9 3 Ví dụ 4 (D-2013-CB): Cho tam giác ABC có điểm M   ;  là trung điểm của cạnh  2 2 AB , điểm H  2;4  và điểm I  1;1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C . Ví dụ 5: Cho các điểm A 10;5  , B 15; 5  và D  20;0  là các đỉnh của hình thang cân ABCD trong đó AB song song với CD . Tìm tọa độ đỉnh C . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 29  4 Ví dụ 6.: Cho hình thoi ABCD có tâm I  3;3 và AC  2 BD . Điểm M  2;  thuộc đường  3  13  thẳng AB , điểm N  3;  thuộc đường thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết  3 đỉnh B có tung độ nguyên. Ví dụ 7 (D-2010-CB): Cho tam giác ABC có đỉnh A  3; 7  , trực tâm là H  3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp là I  2;0  . Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 30   1350 và Ví dụ 8: Cho hai điểm A 1;2  , B  4;3  . Tìm tọa độ điểm M sao cho MAB khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 10 . 2 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB và AD 2 2 tiếp xúc với đường tròn T  có phương trình  x  2    y  3  4 . Đường chéo AC cắt  16 23  đường tròn T  tại hai điểm M , N . Biết M   ;  , trục tung chứa điểm N và không  5 5  song song với AD ; diện tích tam giác ADI bằng 10 và điểm A có hoành độ âm và nhỏ hơn hoành độ của D . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD . Ví dụ 10 (Khối A, A1-2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm AB và N là điểm thuộc AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình đường thẳng CD , biết M(1;2) và N(2;-1). 4. CÁCH RA ĐỀ 4: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và hai đường thẳng d1 : 2 x  y  5  0, d 2 : 2 x  y  0 . Lập phương trình đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C  tại A cắt Oxy d1 , d 2 lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 31 Ví dụ 2 (A – 2010 – CB): Cho hai đường thẳng d1 : 3 x  y  0 và d 2 : 3x  y  0 . Gọi T  là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 và điểm A có hoành độ dương. 2 1  Ví dụ 3 (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1  . Đường tròn nội tiếp tam 2  giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng tại các điểm D, E , F . Cho D  3;1 và đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường tròn  C ' có diện tích gấp bốn lần diện tích đường tròn  C  và  C ' đồng tâm với  C  . Biết đường thẳng d : 2 x  y  3  0 đi qua điểm M . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 32 Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm C  2; 5  , đường thẳng  : 3x  4 y  4  0 .  5 Tìm trên đường thẳng  hai điểm A và B đối xứng với nhau qua điểm I  2;  sao cho  2 diện tích tam giác ABC bằng 15. Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có phương trình cạnh  1 9 AB : 4 x  3 y  24  0 và I   ;  là giao điểm hai đường chéo. Tìm tọa độ các đỉnh của  2 2 hình vuông ABCD , biết đỉnh A có hoành độ dương. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3 x  y  7  0 , điểm B  0;3 , diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi. Bài 5.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Viết phương trình đường tròn  C  đi qua hai điểm A  0;5  , B  2;3 và có bán kính R  10 . Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn C  : x2  y 2  2x  4 y  1  0 và M  0;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 33   Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC đều, biết điểm 2  3; 2  3 và đường thẳng BC : x  y  0 . Tìm tọa độ B và C . Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  1; 2  và đường thẳng  : x  2 y  3  0 . Trên đường thẳng  lấy hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC  3BC . TÌm tọa độ đỉnh B . Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  3  0 và điểm A  2;6  . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường thẳng d , tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 35 . 2 Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và A  1; 2  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và DC , E là giao điểm của BN và CM . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm trên đt 2 x  y  8  0 . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 34 Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  1;3 và đường thẳng  có phương trình x  2 y  2  0 . Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên  . Tìm tọa độ các đỉnh B, C , D biết C có tung độ dương. Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm 9 3 của hình chữ nhật là điểm I  ;  thuộc đoạn BD sao cho IB  2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh 2 2 của hình chữ nhật, biết A có dung độ dương. Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD và điểm M  3;0  là trung điểm của cạnh AD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD có phương trình AD : 2 x  y  1  0 , điểm I  3; 2  thuộc đoạn BD sao cho IB  2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết D có hoành độ dương và AD  2 AB . Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh A  0;5  và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình 2 x  y  0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết B có hoành độ lớn hơn 2. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 35 Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn CD . Biết BC  2 AB  2 AD , trung điểm của BC là điểm M 1;0  , đường thẳng AD cospt x  3 y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A biết A có tung độ nguyên. Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, biết   1200 ; M 1;2  là trung điểm của cạnh AC . Đường thẳng BC có phương trình BAC x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A biết điểm C có hoành độ dương. Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 x  6 y  21  0 và đường thẳng d : 2 x  y  3  0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn  C  biết A nằm trên d và có hoành độ nguyên. Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  2 y  5  0 và đường tròn  C  : x2  y 2  2 x  4 y  5  0 . Qua điểm M thuộc  , kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết độ dài đoạn AB  2 5 . Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  12 x  4 y  36  0 . Viết phương trình đường tròn  C ' tiếp xúc với hai trục tọa độ, đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn  C  . Biết tâm của  C ' có hoành độ và tung độ cùng dấu. (Không hình) Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 và có tâm I là giao điểm của hai đường thẳng d1 : x  y  3  0 và d 2 : x  3 y  9  0 . Trung điểm Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 36 của cạnh AD là giao điểm của d1 với trực hoành. Xác định tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật, biết A có tung độ dương. Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M  1;2  , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I  2; 1 . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình  : 2 x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh C. Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  3  0 và d 2 : x  y  1  0 và điểm M 1;2  . Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt d1 tại hai điểm A và B sao cho AB  8 2 và đồng thời tiếp xúc với d 2 . Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có AB : 4 x  y  4  0, CD : 4 x  3 y  18  0 và tâm I thuộc đường thẳng  : x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết A có hoành độ nhỏ hơn 1. Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C1  có phương trình x 2  y 2  25 , điểm M 1; 2  . Đường tròn  C2  có bán kính 2 10 . Tìm tọa độ tâm của đường tròn  C2  , sao cho  C2  cắt  C1  theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 37 Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm I  4;0  và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác là d1 : x  y  2  0 và d 2 : x  2 y  3  0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC biết B có tung độ dương. Bài 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A 1;0  , B  3; 2  và  ABC  1200 . Xác định tọa độ hai đỉnh C và D , biết D có tung độ dương. Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I  2;1 và AC  2 BD .  1 Điểm M  0;  thuộc đường thẳng AB , điểm N  0;7  thuộc đường thẳng CD . Tìm tọa độ  3 đỉnh B biết B có hoành độ dương. 2 2 Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x  3   y  2   27 có tâm 2 I và đường thẳng d : x  y  5  0 . Từ điểm M thuộc d kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M sao cho diện tích tam giác IAB bằng 27 3 và độ dài đoạn AB nhỏ nhất. 2 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 38 Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  6 x  2 y  6  0 và các điểm A  2; 3 , B  4;1 . Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích lớn nhất. Bài 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông OABC có đỉnh A  3; 4  và điểm B có hoành độ âm. Gọi E , F theo thứ tự là các giao điểm của đường tròn  C  ngoại tiếp hình vuông OABC với trục hoành và trục tung ( E và F khác gốc tọa độ O ). Tìm tọa độ điểm M sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất. Bài 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;0  và đường thẳng  : x  2 y  2  0 . Tìm trên  hai điểm M , N sao cho tam giác AMN vuông tại A và AM  2 AN , biết điểm N có tung độ là số nguyên. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 39 Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C  4;1 , phân giác trong góc A có phương trình x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Bài 33. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  0 và điểm A  1;3 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD nội tiếp  C  và có diện tích băng 10. Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và CB  CD . Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE  AB . Phương trình cạnh BC : x  3 y  13  0 , phương trình AC : x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hoành độ nhỏ hơn 3 và E 14;1 . Bài 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn T  : x 2  y 2  4 y  4  0 và cạnh AB có trung điểm M thuộc đường thẳng d : 2 x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ không lớn hơn 1. Bài 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 với A  3; 2  , B 1;0  . Tìm tọa độ đỉnh C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2 và C có tung độ dương. (Không hình) Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 40 Bài 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H  2;1 và tâm đường tròn ngoại tiếp I 1;0  . Trung điểm BC nằm trên đường thẳng có phương trình x  2 y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh B, C biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E  6; 1 và hoành độ điểm B nhỏ hơn 4. Bài 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A 1;1 , B  2;3 và C thuộc đường tròn có phương trình x 2  y 2  6 x  4 y  9  0 . Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC bằng 0,5 và điểm C có hoành độ là một số nguyên. (Không hình) Bài 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  1  0 và d 2 : 2 x  y  3  0 . Gọi I là giao điểm của d1 và d 2 ; A là điểm thuộc d1 có hoành độ dương. Lập phương trình đường thẳng  đi qua A , cắt d 2 tại B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6 và IB  3IA . Bài 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ 1  đỉnh A là 3 x  y  5  0 , trực tâm H  2; 1 và  ;4  là trung điểm của cạnh AB . Tìm 2  Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 41 tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết BC  10 và B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ của C . Bài 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : x  y  15  0 và  2 : 3 x  y  10  0 . Các đường tròn  C1  và  C2  có bán kính bằng nhau, đều có tâm nằm trên 1 và cắt nhau tại hai điểm A 10;20  và B . Đường thẳng  2 cắt  C1  và  C2  lần lượt tại C và D (khác A ). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD , biết diện tích tam giác BCD bằng 120 và tâm của đường tròn  C1  có hoành độ không dương. Bài 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : 3x  y  0 . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với  tại A , cắt trục tung tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A và có chu vi bằng 3  3 . Bài 43. Cho hai điểm A  0;1 , B  2; 1 và hai đường thẳng d1 :  m  1 x   m  2  y  2  m  0 ; d 2 :  2  m  x   m  1 y  3m  5  0 . Gọi P là giao điểm của d1 và d 2 . Tìm m sao co PA  PB lớn nhất. Bài 44. Cho tam giác nhọn ABC . Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3 x  5 y  8  0 và x  y  4  0 . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 42 D  4; 2  . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3. Bài 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  C  : x 2  y 2  25 , đường thẳng AC đi qua điểm K  2;1 . Gọi M , N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C . Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng MN là 4 x  3 y  10  0 và có điểm A có hoành độ âm. Bài 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  1; 3  . Biết rằng trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H 1; 1 và I  2; 2  . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC . Bài 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Biết tọa độ B  3;3 , C  5; 3 . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI  2 BI , tam giác ABC có diện tích bằng 12, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 43 Bài toán 2. Tìm M thuộc đường thẳng d và cách đường thẳng d’ một khoảng không đổi C. VÍ DỤ GỐC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  1  0 và đường thẳng  ' : 5x  12 y  2  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho M cách  ' một khoảng bằng 2. D. CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG Ví dụ 1 (B – 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B  4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thẳng x  2 y  1  0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A 1;0  , B  0;2  và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y  x . Tìm tọa độ đỉnh C , D . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB và CD lần lượt là x  y  4  0 và x  y  4  0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết tâm của hình vuông thuộc đường thẳng  : 2x  y  1  0 . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 44 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  0 . Đường tròn C  có bán kính R  10 cắt  tại hai điểm A, B sao cho AB  4 2 . Tiếp tuyến của  C  tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy . Viết phương trình đường tròn  C  . E. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD và A  3;1 , B  4;5  . Tâm I của hình bình hành thuộc đường thẳng x  y  3  0 . Tìm tọa độ các đỉnh C , D biết rằng diện tích hình bình hạnh ABCD bằng 9. Bài 2 (D-2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 2  C  :  x  1   y  2  2 Oxy , cho đường tròn  9 và đường thẳng d : 3x  4 y  m  0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới  C  ( A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A với BC  4 2 . 5   18  Các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M 1;   và N  0;  . Xác định 3   7 Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 45 tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường cao AH có phương trình x  y  2  0 và điểm B có hoành độ dương. Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có giao điểm hai đường chéo là I . Trung điểm của AB là điểm M  0; 7  và trọng tâm G  5;3 của tam giác ICD . Biết diện tích ABD bằng 12 và A thuộc đường thẳng  : x  y  2  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD . Bài toán 3. Tìm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB là tam giác đăc biệt (vuông, cân, hai cạnh có mối quan hệ về độ dài, ….) C. VÍ DỤ GỐC: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : 2x  y  5  0 với hai điểm A  2;3 , B  4;1 . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho tam giác MAB vuông tại M . Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác MAB cân tại A và đường thẳng  : x  2 y  1  0 . Biết B 1; 4  và I  2; 2  lả trung điểm của AM và M biết  đi qua điểm M và M có hoành độ là số nguyên. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 46 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác MAB có trọng tâm G  2; 1 và A 1; 3 . Đường thẳng  : 2x  y  4  0 đi qua M . Tìm tọa độ điểm M và B biết MB  5MA và M có hoành độ dương. D. CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG Ví dụ 1 (D – 2004): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đỉnh A  1;0  , B  4;0  , C  0; m  với m  0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . Ví dụ 2 (A, A1 – 2013 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x  y  5  0 và A  4;8  là điểm đối xứng của B qua , N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD . Tìm tọa độ các điểm B và C , biết rằng A  5; 4  . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1; 2  , B  3; 4  , đường thẳng d : x  y  3  0 . Viết phương trình đường tròn  C  đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với d . Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 47 Ví dụ 4 (A – 2009 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6; 2  là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm M 1;5  thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  : x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng AB . Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B 1; 2  và trọng điểm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d : 2 x  y  1  0 . Trung điểm CD là điểm N  1;2  . Tìm tọa độ các đỉnh A, C , D . Biết G có hoành độ nhỏ nhất. Ví dụ 6.: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G  2; 3 và B 1;1 , đường thẳng  : x  y  4  0 đi qua A và đường phân giác trong của gốc A cắt BC tại điểm I sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4 diện tích tam giác IAC . Viết 5 phương trình đường thẳng biết A có hoành dương. Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: [email protected] Page 48